Линейное (векторное) пространство над полем P



страница4/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  • 3.1. Теорема об ортогональном дополнении как подпространстве


    Ортогональное дополнение к подпространству является линейным подпространством того же пространства.
    1. 3.2. Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения


    Если - линейное подпространство пространства , то прямая сумма этого линейного подпространства и его ортогонального дополнения образует пространство :
    1. 3.3. Следствие о существовании и единственности ортогональной проекции вектора на подпространство


    Если - линейное подпространство пространства , то для любого вектора существует, и притом единственное, разложение , где .

    1. Билинейные и квадратичные формы в произвольном линейном пространстве

    1. Определения

      1. Линейная функция (линейная форма)


    Пусть - линейное пространство над полем . Функция , отображающая вектор из пространства в число из поля , называется линейной, если:

    1) для всех векторов ,

    2) для любого числа и любого вектора
    Линейная форма в алгебраическом виде выглядит так: , где - вектор из пространства , а числа - константы.
      1. Матрица линейной формы


    Матрица линейной формы в базисе представляет собой матрицу-строку, состоящую из координат результатов действия линейной формы на соответствующие вектора этого базиса: .
      1. Билинейная функция (билинейная форма)


    Пусть - линейное пространство над полем . Числовая функция двух векторных аргументов называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу:

    1)

    2)

    3)

    4)

    - любые векторы пространства L, - произвольное число из поля P.
    Билинейная форма отображает пару векторов из линейного пространства L в число из поля P и линейна по каждому из своих аргументов.
    В алгебраическом виде билинейная форма имеет вид:

    ,

    где n – размерность линейного пространства. Следует заметить, что коэффициенты в данном виде зависят от выбранного базиса.
      1. Матрица билинейной формы


    Пусть дана произвольная билинейная форма.
    Запишем ее в развернутом виде для некоего базиса:



    Если выписывать отсюда таблицу коэффициентов, то получится квадратная матрица, которая называется матрицей билинейной формы в данном базисе:



    Данную матрицу можно получить, записывая результаты действия билинейной формы на соответствующие пары векторов базиса. Иными словами, эту матрицу можно записать вот так:


      1. Ранг билинейной формы


    Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе.
      1. (не) вырожденная билинейная форма


    Билинейная форма называется вырожденной, если , и невырожденной, если
      1. симметричная билинейная форма


    Билинейная форма называется симметричной, если для . Билинейная форма называется кососимметричной, если для . В случае симметричной билинейной формы коэффициенты матрицы симметричны: . В случае кососимметричной формы, , в частности .
      1. Квадратичная форма


    Пусть билинейная форма является симметричной: . Это равносильно тому, что в любом базисе симметрична ее матрица: . В самом деле, . Отождествим оба аргумента формы . Тогда получим при . Функция называется квадратичной формой, отвечающей данной симметричной билинейной форме .
      1. Полярная билинейная форма


    Соответствующая симметричная билинейная форма называется полярной для квадратичной формы .
      1. Матрица квадратичной формы


    Матрицей квадратичной формы называют матрицу ее полярной билинейной формы.
      1. Ранг квадратичной формы


    Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы в произвольном базисе.
      1. (не) вырожденная квадратичная форма


    Квадратичная форма называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
      1. Канонический вид квадратичной формы


    В каноническом базисе квадратичная форма принимает вид: , который называется каноническим видом квадратичной формы, а числа - ее каноническими коэффициентами. Канонический вид также называют суммой квадратов. Очевидно, что количество ненулевых квадратов совпадает с рангом квадратичной формы.
      1. Канонический базис квадратичной формы


    Базис называется каноническим базисом квадратичной формы , если матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид: .
      1. Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов)


    Пусть дана квадратичная форма . Тогда в любом базисе ее можно записать в виде .

    О чем идет речь:

    Возьмем простой пример квадратичной формы: . Ее можно привести к каноническому виду .

    На практике, если нету какого-то квадрата, то берем произведение и делаем замену:

  • 1   2   3   4   5   6   7   8   9

    Похожие:

    Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
    Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
    Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
    Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
    Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
    Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
    Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
    Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
    Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
    Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
    Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
    Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
    Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
    Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
    Разместите кнопку на своём сайте:
    ru.convdocs.org


    База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
    обратиться к администрации
    ru.convdocs.org