Линейное (векторное) пространство над полем P



страница5/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Теорема об изменении матрицы линейной формы при переходе от одного базиса к другому


При переходе из базиса к базису матрица линейной формы изменяется по закону:

, где - матрица перехода.
  1. Теорема о матрице билинейной формы в фиксированном базисе


Произвольная квадратная матрица является матрицей единственной билинейной формы в заданном базисе пространства.
  1. Теорема об изменении матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому


При переходе из базиса к базису матрица билинейной формы изменяется по закону:

, где - матрица перехода.

  1. Теорема о матрице симметричной билинейной формы


Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична.
  1. Теорема о полярной билинейной форме


Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.
  1. Свойства матрицы квадратичной формы


  2. Матрица квадратичной формы симметрична

  3. Любая квадратная симметричная матрица является матрицей единственной квадратичной формы в заданном базисе

  4. Матрицы квадратичной формы в различных базисах и связаны соотношением

  5. В базисе квадратичная форма с матрицей может быть записана в виде , , или в более компактной форме , где - столбец координат вектора в базисе .

Все вышеперечисленные свойства вытекают из свойств билинейной формы.

  1. Теорема о существовании канонического базиса квадратичной формы. Метод Лагранжа.


Для любой квадратичной формы существует канонический базис.
TODO: метод лагранжа
  1. Формулы Якоби


Если в матрице квадратичной формы ранга первые угловых миноров отличны от нуля: , то существует базис , в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид

Для квадратичной формы в условиях теоремы выполнимы первые шагов метода Лагранжа. После -го шага матрица принимает вышеуказанный вид, где, согласно . , а С – некоторая матрица. Так как , и , то и . Отсюда следует, что матрица имеет искомый вид.

Соотношение называется формулами Якоби.

  1. Билинейные и квадратичные формы в вещественном (действительном) линейном пространстве

  1. Определения

    1. Индексы инерции квадратичной формы


Пусть квадратичная форма приведена к какому-нибудь каноническому виду . Число положительных квадратов называют положительным индексом инерции, а число называют отрицательным индексом инерции. Индексы инерции не зависят от выбора канонического базиса (см. соответствующую теорему 5.1).
    1. Сигнатура


Число называют сигнатурой квадратичной формы.
    1. Знакоопределенная квадратичная форма


Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если (соответственно ), . Такие формы называют знакоопределенными.
    1. Знакопеременная квадратичная форма


Квадратичная форма, для которой существуют векторы и такие, что и называется знакопеременной.
  1. Теоремы

  2. 5.1 Закон инерции


Положительный и отрицательный индексы инерции вещественной квадратичной формы не зависят от выбора канонического базиса.
  1. 5.2 Сигнатурное правило Якоби


Пусть - угловой минор -го порядка матрицы квадратичной формы ранга и , . Обозначим символами и число совпадений и перемен знаков в последовательности . Тогда:

, .

Утверждение теоремы вытекает из формул Якоби (101.13), так как при , и , если .
  1. 5.3 Критерий знакоопределенности квадратичной формы (102.3)


Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда ее положительный (соотв. отрицательный) индекс инерции совпадает с размерностью пространства.
  • 5.3.1 Следствие (об определителе положительно определенной квадратичной формы).


Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен, так как если - канонический базис, то в произвольном базисе , согласно (101.6), .
  1. 5.4 Критерий Сильвестра


Пусть в некотором базисе квадратичная форма имеет матрицу . Тогда ее угловые миноры будут иметь вид:



Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все ее угловые миноры положительны.

Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются, причем .
  1. 5.5 Критерий скалярного произведения


Пусть - вещественное линейное пространство. Отображение называется скалярным произведением в пространстве тогда и только тогда, когда оно является симметричной билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org