Линейное (векторное) пространство над полем P



страница6/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Билинейные и квадратичные формы в евклидовом (унитарном) линейном пространстве

  1. Теоремы

    1. Теорема о соответствии между квадратичными формами и симметрическими линейными преобразованиями


Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве существует, и притом единственный, симметрический оператор , такой что , .

Note: - скалярное произведение и .
    1. Теорема о существовании ортонормированного канонического базиса - приведение к главным осям).


Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором она имеет канонический вид.
  1. Линейные операторы, действующие в паре произвольных линейных пространств

  1. Определения

    1. Линейный оператор


Пусть и - линейные пространства над общим полем .

Отображение называется линейным оператором, действующим из пространства в пространство , если для любых :




    1. Линейное преобразование


То же самое, что и линейный оператор
    1. Линейный функционал


Если (т.е. отображение идет в поле), то линейное отображение называют линейным функционалом, или линейной формой.
    1. Оператор проектирования


Пусть . Отображение , определенное правилом для векторов , имеющих разложение , где , а , является линейным и называется оператором проектирования пространства на подпространство параллельно
    1. Оператор отражения


Пусть . Отображение , определенное правилом для векторов , имеющих разложение , где , а , является линейным и называется оператором отражения пространства относительно .
    1. Нулевой оператор


Отображение , которое каждый вектор переводит в нулевой вектор , является линейным и называется нулевым оператором.
    1. Единичный оператор


Отображение , которое каждый вектор переводит в себя же, является линейным и называется единичным оператором.

    1. Матрица линейного оператора


Пусть и - базисы линейных пространств и соответственно. Линейный оператор однозначно определяется заданием векторов . В свою очередь, эти векторы однозначно определены своими координатами в базисе , т.е. коэффициентами разложений:



Матрица называется матрицей оператора в паре базисов и .
    1. Сумма линейных операторов


Суммой линейных операторов называют отображение , выполняемое по правилу ,
    1. Произведение линейного оператора на число


Произведением линейного оператора на число называют отображение , выполняемое по правилу: . Обозначение:
    1. Пространство линейных операторов


Множество линейных операторов, действующих из в , является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число (см. пункты 7.9 и 7.10).
    1. Изоморфизм линейных операторов


Если , , то линейное пространство операторов изоморфно пространству матриц
    1. Произведение линейных операторов


Пусть - линейные пространства над полем . Произведением линейных операторов и называется отображение , выполняемое по правилу: .

Обозначение: . Таким образом, .
    1. Образ вектора


Результатом действия оператора на вектор является вектор , который называется образом вектора.
    1. Полный прообраз вектора


Пусть дан оператор . , где , .

Вектор называется прообразом вектора , если , где , .

Полным прообразом вектора называется множество всех векторов , для которых .
Иными словами, полным прообразом вектора называется множество векторов, которые под действием оператора переходят в данный вектор.
    1. Образ оператора


Образом линейного оператора называется множество .

Человеческим языком, образ линейного оператора – это его область значений (множество всех значений при произвольных входных данных).
    1. Ядро оператора


Ядром линейного оператора называется множество .

Человеческим языком, ядро линейного оператора – множество входных данных, при которых результатом действия оператора является нулевой вектор.
    1. Ранг линейного оператора


Рангом линейного оператора называется размерность его образа:
    1. Дефект линейного оператора


Дефектом линейного оператора называется размерность ядра:
    1. Сопряженное пространство


Множество всех линейных форм в линейном пространстве образует линейное пространство относительно операций сложения и умножения на число:



Линейное пространство всех линейных форм на пространстве называют сопряженным пространством к пространству , и обозначают .
    1. Алгебра линейных операторов


Линейное пространство над полем , которое является кольцом и удовлетворяет условиям , называют алгеброй (или линейного алгеброй) над полем . Линейное пространство операторов удовлетворяет этим условиям.
    1. Многочлен от оператора


Как и в любом кольце, оператор можно возводить в степень , и если - некий произвольный многочлен над полем от переменной , то однозначно определен оператор , называемый многочленом от оператора .
    1. Определитель линейного оператора


Определителем линейного оператора называется определитель матрицы этого оператора в произвольном базисе.
    1. Обратный оператор


Пусть дан оператор . Отображение называется обратным оператором к оператору , если
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org