Линейное (векторное) пространство над полем P



страница7/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Простейшие свойства линейных операторов


  2. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор

  3. Линейный оператор сохраняет линейные комбинации

  4. Линейный оператор сохраняет линейную зависимость

Все эти свойства вытекают из определения линейных операторов.
  1. Теорема о соответствии между матрицами и линейными операторами


Пусть , , тогда существует взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и матрицами из .
  1. Координаты образа вектора


Если , то , где: , а и - соответственно базисы пространств и .

Пусть , , и . Утверждение равносильно следующему:

,
  1. Теорема об изменении матрицы линейного оператора при переходе от одной пары базисов к другой


Матрицы и линейного оператора в различных парах базисов связаны соотношением , где и - соответствующие матрицы перехода.
  1. Теорема о пространстве линейных операторов


Множество - линейное пространство над полем относительно введенных выше операций сложения и умножения на число.

Для доказательства достаточно проверить выполнение аксиом линейного пространства.
  1. Теорема о ранге линейного оператора


Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.
  1. Теорема о ранге и дефекте


Если , то .

Т.е., размерность исходного пространства равна сумме ранга и дефекта оператора.
  1. Теорема о виде матрицы произвольного линейного оператора в паре канонических базисов


Пусть , , , . Тогда существуют базисы и пространств и , в которых оператор имеет матрицу вида:

, в которой все элементы равны нулю, кроме первых диагональных элементов, равных 1.
  1. Теорема о свойствах оператора, обратного к линейному


TODO: собрать инфу
  1. Теорема о матрице обратного оператора


Матрица оператора в неком произвольном базисе является обратной к матрице оператора в том же базисе.

Вкратце: у обратного оператора – обратная матрица.

  1. Линейные операторы, действующие в одном (произвольном) линейном пространстве

  1. Определения

    1. Линейный оператор, действующий в одном линейном пространстве


Линейное отображение называется линейным отображением пространства в себя, а чаще – линейным оператором, действующем в одном пространстве . Еще его обозначают как .
    1. Матрица линейного оператора, действующего в одном линейном пространстве


Матрица оператора представляет собой квадратную матрицу. TODO: там много интересных свойств, надо dump.
    1. Инвариантное подпространство


Пусть - линейное пространство над полем , и дан линейный оператор .

Линейное подпространство пространства называется инвариантным подпространством относительно оператора , если , т.е. при действии этого оператора любой вектор из этого подпространства переходит в вектор, находящийся в том же подпространстве.
То есть, инвариантным называется такое подпространство, которое под действием оператора не выходит за пределы себя самого.
    1. Индуцированный оператор


Пусть - подпространство, инвариантное относительно . Отображение , определенное равенством , называют индуцированным оператором, порожденным оператором . .

Иными словами, индуцированный оператор – оператор, ограниченный в действии только данным инвариантным подпространством.
    1. Собственное значение линейного оператора


Пусть дан оператор . Собственным значением оператора называется число такое, что . Стоит отметить что не для всех векторов существует такое : вектора, для которых можно найти такое число, называют собственными векторами (см. пункт 8.7).
    1. Спектр линейного оператора


Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора.
    1. Собственный вектор линейного оператора


Пусть дан оператор . Вектор называется собственным вектором оператора , если существует такое число , для которого . Само число называется собственным значением оператора , соответствующего собственному вектору .
    1. Характеристический многочлен матрицы


Характеристическим многочленом квадратной матрицы называется функция вида , где - единичная матрица.
Стоит отдельно отметить, что речь идет о произвольной квадратной матрице: она вовсе не обязательно должна быть матрицей какого-то линейного оператора (хотя между такими матрицами и линейными операторами можно установить взаимно однозначное соответствие).
    1. Подобные матрицы


Матрицы называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая что
    1. Характеристический многочлен линейного оператора


Характеристическим многочленом оператора называется характеристический многочлен его матрицы в произвольном базисе: , где - матрица оператора, - единичная матрица. Корнями этого многочлена являются собственные значения оператора.
    1. Собственное подпространство линейного оператора


Пусть - некое собственное значение линейного оператора . Множество собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, называется собственным подпространством линейного оператора , соответствующего собственному значению .

Математически, .
    1. Алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора


Кратность как корня характеристического многочлена называется алгебраической кратностью.
То есть, это число – сколько раз встречается значение среди корней характеристического многочлена.
    1. Геометрическая кратность собственного значения линейного оператора


Размерность собственного подпространства , соответствующего собственному значению , называется геометрической кратностью собственного значения .
    1. Оператор простой структуры


Линейный оператор называется оператором простой структуры, если в пространстве существует базис из его собственных векторов.
    1. Матрица простой структуры


Матрица простой структуры – это диагональная матрица, у которой по диагонали идут , соответствующие собственным векторам .

Иными словами, это матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов, по диагонали которой идут соответствующие собственные значения.
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org