Линейное (векторное) пространство над полем P



страница8/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Теорема о виде матрицы линейного оператора в пространстве – прямой сумме инвариантных подпространств


Если пространство является прямой суммой подпространств , инвариантных относительно оператора , то в пространстве существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму.
  1. Теорема о собственных векторах с различными собственными значениями


Собственные векторы , соответствующие различным собственным значениям , линейно независимы.
  1. Теорема о характеристических многочленах подобных матриц


Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
  1. Теорема о корнях характеристического многочлена и собственных значениях линейного оператора


Пусть - линейное пространство над полем . Число является собственным значеним оператора тогда и только тогда, когда - корень его характеристического многочлена.
  1. Теорема о матрице линейного преобразования в базисе из собственных векторов


Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов представляет собой диагональную матрицу, на главной диагонали которой стоят соответствующие собственные значения.
Иными словами, это матрица простой структуры.
  1. Теорема о собственных значениях и собственных векторах в комплексном линейном пространстве


Произвольный линейный оператор , действующий в -мерном комплексном пространстве , имеет:

1) собственных значений, если их считать столько раз, какова их кратность как корня характеристического многочлена

2) хотя бы один собственный вектор

3) на любом инвариантном подпространстве хотя бы один собственный вектор

  1. Критерий наличия у оператора простой структуры


Линейный оператор обладает простой структурой тогда и только тогда, когда все его собственные подпространства в прямой сумме дают все пространство:
  1. Теорема Гамильтона-Кэли


Линейный оператор, действующий в комплексном или вещественном пространстве, является корнем своего характеристического многочлена.
  1. Линейные операторы, действующие в (одном) евклидовом или унитарном пространстве

  1. Определения

    1. Сопряженный оператор


Пусть дан оператор . Отображение называют сопряженным оператором к оператору , если , .

    1. Самосопряженный оператор


Линейный оператор , действующий в унитарном (или евклидовом) пространстве, называется самосопряженным, если , или, иными словами, .

В евклидовом пространстве такой оператор называют симметрическим, а в унитарном пространстве – евклидовым.
    1. Биортогональные базисы


Две системы векторов и в унитарном (или евклидовом) пространстве называют биортогональной системой, если , где - символ Кронекера, т.е. .

Биортогональная система двух базисов линейного пространства и называется биортогональной парой базисов:
    1. Нормальный оператор


Пусть - унитарное или евклидово пространство. Линейный оператор называется нормальным оператором, если
    1. Ортогональный (унитарный) оператор


Линейный оператор , действующий в унитарном (или евклидовом) пространстве, называется унитарным (соответственно, ортогональным) оператором, если , где - единичный оператор.
    1. Ортогональная (унитарная) матрица


Матрица называется унитарной, если .

Матрица называется ортогональной, если .

Замечание: обозначение в данном случае обозначает комплексное сопряжение: т.е. это транспонированная матрица: , у которой, кроме этого, все ее элементы заменены на комплексно сопряженные.
    1. Эрмитов оператор


Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называется эрмитовым
    1. Эрмитова матрица


Эрмитовой матрицей называют комплексную самосопряженную матрицу , т.е. такую, для которой .
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org