Линейное (векторное) пространство над полем P



страница9/9
Дата16.10.2012
Размер0.52 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9

Теоремы

  1. Теорема о линейности сопряженного оператора


Сопряженный оператор линеен.
  1. Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора


Для любого оператора существует, и притом единственный, сопряженный оператор.
  1. Свойства сопряженного оператора


Операция сопряжения линейного оператора обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

Данные свойства выполнены для любых операторов, для которых определены данные операции.
  1. Теорема о матрицах двух сопряженных операторов в паре биортогональных базисов


В паре биортогональных базисов и унитарного (евклидова) пространства матрицы операторов и связаны соотношением: .

Т.е., матрица сопряженного оператора в базисе равна сопряженной матрице исходного оператора в базисе .
  1. Теорема о собственных векторах нормального и сопряженного к нему оператора


Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению , является собственным вектором сопряженного оператора, отвечающего собственному значению .

  1. Теорема о собственных векторах нормального оператора, соответствующих различным собственным значениям


Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
  1. Критерий нормальности оператора в унитарном пространстве


Оператор, действующий в унитарном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из его собственных векторов.
  1. Три свойства унитарного и ортогонального операторов


Пусть дан унитарный (или ортогональный – без разницы) оператор .

1)

2) Его матрица в любом ортонормированном базисе ортогональна.

3) Оператор сохраняет скалярное произведение: . В частности, он сохраняет длину. Иногда это свойство считают определением.

  1. Критерий унитарности оператора


В унитарном (евклидовом) пространстве следующие утверждения равносильны:
1) Оператор унитарен (ортогонален)

2)

3)

4) Оператор сохраняет скалярное произведение:

5) Оператор сохраняет длину:

6) Оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис

7) Оператор переводит хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис
  1. Спектральная характеристика унитарного оператора


Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице: .
  1. Каноническая форма матрицы унитарного оператора


В пространстве существует ортонормированный базис , в котором матрица унитарного оператора имеет диагональную форму:

, где .

Такая форма матрицы называется канонической формой матрицы унитарного оператора.
  1. Каноническая форма матрицы ортогонального оператора


Для любого ортогонального оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму с клетками вида:

, на главной диагонали.
  1. Свойства самосопряженного оператора


  2. Самосопряженный оператор нормален.

  3. Оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу

  4. Определитель самосопряженного оператора вещественнен.

  5. Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного оператора , то подпространство тоже инвариантно относительно этого оператора

  6. Самосопряженный оператор в любом инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор.
  7. Спектральная характеристика самосопряженного оператора


Нормальный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда все корни его характеристического многочлена вещественны.
  1. Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора


Оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, самосопряжен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, в котором его матрица имеет вещественную диагональную форму. Такая форма его матрицы называется канонической.
  1. Евклидовы и унитарные пространства

  1. Определения

    1. Скалярное произведение


Пусть - вещественное или комплексное пространство.

Отображение называют скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим аксиомам: для и :

1)

2)

3)

4) , причем , когда
    1. Вещественное (действительное) линейное пространство


Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называют евклидовым пространством.
    1. Комплексное евклидово ( = унитарное) пространство


Комплексное линейное пространство со скалярным произведеним называют унитарным пространством.
    1. Длина вектора


Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из его скалярного квадрата:
    1. Неравенство треугольника



    1. Ортогональные векторы


Два вектора называются ортогональными, если .
    1. Ортонормированная система


Система векторов называется ортонормированной системой, если
    1. Ортогональная (унитарная) матрица


Матрица называется унитарной, если .

Матрица называется ортогональной, если .
    1. Матрица Грама


Матрицей Грама системы векторов евклидова (унитарного) пространства называется квадратная матрица вида:


    1. Эрмитова матрица


Матрица называется эрмитовой матрицей, если .
    1. Метрика


Метрикой называется отображение , которое каждой упорядоченной паре элементов ставит в соответствие число такое, что:

1) ,

2)

3) ,

4) ,
    1. Метрическое пространство


Множество называют метрическим пространством, если на нем определена метрика.
    1. Изометрия


Евклидовы пространства и называют изоморфными, если существует биективное отображение , которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение, т.е.:

1)

2)
  1. Теоремы

  1. Пять свойств скалярного произведения


1) ,

2) ,

3) ,

4)

5) Любое подпространство евклидова (унитарного) пространства является евклидовым (унитарным) пространством.
  1. Неравенство Коши-Буняковского


Для любых двух векторов имеет место неравенство .

В другой форме оно записывается как
  1. Неравенства треугольника


В евклидовом (унитарном) пространстве для любых векторов из этого пространства имеют место неравенства:



Применив нехитрые преобразования, получим:


  1. Теорема о линейной независимости ортогональной системы


Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
  1. Теорема о вычислении координат вектора в ортонормированном базисе


В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе , состоящем из векторов , вычисляются по правилу: тогда и только тогда, когда - ортонормированный базис.
  1. Теорема о вычислении скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе


В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами в базисе , вычисляется по правилу тогда и только тогда, когда базис - ортонормированный.
  1. Теорема о существовании ортонормированного базиса


В конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве существует ортонормированный базис.
  1. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта


Доказательство предыдущей теоремы по сути есть алгоритм построения ортонормированного базиса по заданному базису .

Шаг 1. Полагая , находим .

Шаг k (k>1). Полагаем , где , , и находим .

Таким образом, за n шагов мы получим ортонормированный базис пространства .
  1. Критерий линейной (не)зависимости системы векторов в евклидовом (унитарном) пространстве


Система векторов евклидова (унитарного) пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда (т.е. когда определитель матрицы Грама этой системы равен нулю).
  1. Теорема об определителе матрицы Грама линейно независимой системы векторов


Определитель Грама линейно независимой системы векторов в евклидовом (унитарном) пространстве положителен.
  1. Теорема об изоморфизме евклидовых (унитарных) пространств.


Два евклидовых (унитарных) пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.
  1. Жорданова форма матрицы

  1. Определения

    1. Жорданова клетка


Матрица

Называется жордановой клеткой -го порядка, если эта матрица имеет:

  1. характеристический многочлен

  2. собственное значение кратности

  3. собственные векторы, которые являются нетривиальными решениями однородной системы уравнений с матрицей , ранг которой равен .
    1. Нильпотентный линейный оператор


Линейный оператор называется нильпотентным, если существует число такое, что .
    1. Индекс нильпотентности (высота) оператора


Наименьшее число , для которого , называется индексом нильпонетности, или высотой оператора.
    1. Прямая сумма линейных операторов


Если - прямая сумма подпространств линейного пространства , инвариантных относительно линейного оператора , то оператор называется прямой суммой индуцированных операторов .

Иными словами, для любого вектора с разложением , , , имеет место равенство .
    1. Корневой вектор линейного оператора


Пусть - собственное значение оператора . Вектор называется корневым вектором оператора , отвечающим собственному значению , если при некотором .
    1. Высота корневого вектора


Высотой корневого вектора называется наименьшее число , обладающее указанным в 11.5 свойством.
    1. Присоединенный вектор


Корневые векторы высоты называются присоединенными векторами -го порядка.

Таким образом, корневой вектор – это либо нулевой вектор, либо собственный вектор, либо присоединенный вектор.д
    1. Корневое подпространство линейного оператора


Множество всех корневых векторов линейного оператора , отвечающих собственному значению , называется корневым подпространством линейного оператора , отвечающим собственному значению .

Обозначение:
    1. Жорданов базис корневого подпространства

    2. Жорданова форма матрицы линейного оператора

1   2   3   4   5   6   7   8   9

Похожие:

Линейное (векторное) пространство над полем P iconDef. Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной
Путь векторное пространство над полем. Функция называется билинейной формомй, если она линейна по каждому аргументу, т е
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1. линейное векторное пространство
Множество называется линейным векторным пространством (лвп) над некоторым полем (действительном или комплексном), если заданы операция...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЛекция Векторное пространство. Основные вопросы. Векторное линейное пространство
Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЭкзаменационные вопросы по курсу «Теория автоматического управления»
Линейное векторное пространство. Размерность и базис линейного векторного про­странства. Примеры линейных векторных пространств
Линейное (векторное) пространство над полем P iconЗанятие Линейное пространство Является ли линейным пространством следующее множество векторов над полем действительных чисел
Приведены планы занятий в классе и домашние задания по курсу «Линейная алгебра и геометрия». Номера задач приведены по «Сборнику...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
Линейное (векторное) пространство над полем P icon1 Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры
Нормированное пространство. Линейное топологическое пр-во. Примеры. 2 Лемма о почти перпендикуляре. Теорема Рисса
Линейное (векторное) пространство над полем P iconУдк 512. 815. 6 Компьютерные исследования модулярных групповых алгебр
Групповая алгебра группы над полем − ассоциативная алгебра над полем, базис которой образуют элементы группы, а умножение базисных...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconРешение кубичных уравнений Рассмотрим общее уравнение третьей степени над полем комплексных чисел: Ax3 + Bx2 + Cx + D
Будем считать, что старший коэффициент не равен нулю (иначе это будет квад­ратное или даже линейное уравнение, а такие уравнения...
Линейное (векторное) пространство над полем P iconТема пространство и метрология сигналов физическая величина более точно определяется уравнением, чем измерением
Пространство сигналов. Множества сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org