Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств



Скачать 148.95 Kb.
Дата16.10.2012
Размер148.95 Kb.
ТипОтчет
Регистрационный номер НИР: 2. 4.01

АННОТИРОВАННЫЙ ОТЧЕТ

о научно-исследовательской работе за 2005 год

1. Тема НИР: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств

2. Номер государственной регистрации НИР: 01200106140

3. Характер НИР: фундаментальное научное исследование
4. Исполнитель (руководитель) НИР: Лапин А.В., проф., д.ф.-м.н.

5. Вуз (организация), в котором проводится НИР: Казанский государственный университет
6. Наименование структурного подразделения вуза (организации), в котором проводится НИР: отделение математического моделирования

7. Телефон исполнителя: 2315376

8. E-mail исполнителя: alapin@ksu.ru

9. WWW адрес (для ссылки на информацию о результатах НИР):

10. Сроки проведения: начало - 01.01.2001 , окончание - 31.12.2005

11. Наименование годового отчетного/ завершающего этапа НИР: Разработка интерационных методов для сеточных вариационных неравенств.

12. Плановый объем средств на проведение годового отчетного / завершающего этапа НИР:

Плановый объем средств на проведение НИР с начала ее проведения, включая отчетный этап НИР:

13. Фактический объем средств, выделенных на проведение годового отчетного / завершающего этапа НИР:

Фактический объем средств на проведение НИР с начала ее проведения, включая отчетный этап НИР:

14. Коды темы по ГРНТИ : 27.35.23,27.35.25

15. Полученные научные и (или) научно-технические результаты: Выполнены исследования по математическому моделированию вязкого отрывного обтекания системы тел на основе уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока-вихрь. Предложены новые подходы к постановке граничных условий на обтекаемых поверхностях, алгоритмы и сеточные схемы решения задач данного класса.
Построены итерационные методы минимизации интервальных функций для общих гладких равновесных задач. Установлена сходимость методов к решению исходной задачи в условиях типа сильной монотонности основной функции. Предложен комбинированный метод спуска и регуляризации с неточным решением подзадач, позволяющий находить решение негладких равновесных задач при обычной монотонности.
Построена математическая модель влагопереноса в ненасыщенной пористой среде, учитывающая потоки в областях насыщенности ниже остаточной, а также эффекты релаксации и гистерезиса.
Получена новая эквивалентная формулировка параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области в виде эволюционного операторного уравнения с ограниченным оператором (со слабым разрывом), исследована точность регуляризованных решений в различных нормах.

Описан новый класс квазирешений основной обратной краевой задачи аэрогидродинамики в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости; в качестве дополнительного ограничения при задании множества допустимых решений, из которого выбирается квазирешение, использовано ограничение на максимум скорости потока; поставлена соответствующая вариационная задача, предложены методы ее решения, проведены вычислительные эксперименты по построению квазирешений и сравнения полученных результатов с известными ранее, а также приведены примеры решения обратной краевой задачи аэрогидродинамики с применением описанных квазирешений.
Построены сеточные схемы для задачи о препятствии на основе декомпозиции области с неналегающими подобластями. При аппроксимации использованы сетки с частично совпадающими узлами на общей границе подобластей. Решение полученных сеточных задач проведено нелинейным аналогом метода расщепления. Исследована сходимость предложенных методов к решениям полученных схем, проанализированы вопросы реализации метода в данных конкретных случаях.
Проведено численное решение задачи теплопроводности, предполагающей фазовые превращения вещества внутри области (задача Стефана), с локальным движущимся по границе распределенным источником. Характерный радиус действия теплового потока от нагревателя много меньше характерных размеров области. Предложена конечноэлементная схема декомпозиции области с неналегающими подобластями и частично согласованными сетками на них. Одна из подобластей содержит траекторию нагревателя и покрыта более подробной сеткой. Предложенная схема позволяет получить матрицу с простой структурой.
Предложена реологическая модель морского льда, явно учитывающая зависимость величины торошения и скольжения льдин от деформации. Полученная модель включена в программу моделирования динамики Северного ледовитого океана CICE, разработанную в Лос Аламос и доступную для свободного использования. Полученные численные результаты эволюции ледяного покрова Северного полюса сравнены с данными наблюдений.
Проведены численные расчеты, позволяющие оценить последствия аварии в зависимости от количества водорастворимого загрязнения, разлитого на поверхности грунта, и от конкретной пары грунт - вещество.
Исследовались квантовые коммуникационные модели вычислений. Доказана нижняя оценка сложности для одностороннего квантового коммуникационного вычисления булевых функций. Рассмотрены приложения полученной нижней оценки сложности для ветвящихся программ с ограничениями (для упорядоченных диаграммах решений (OBDD)). Приведен пример булевой функции, показывающий, что наша оценка достаточно точна. В качестве другого приложения доказано, что почти все булевы функции экспоненциально сложно реализуются в квантовых OBDD.
Определен новый класс много раз измеряемых квантовых конечных автоматов. Доказано, что в отличие от ранее известных моделей много раз измеряемых квантовых автоматов, наша модель может распознавать произвольный регулярный язык.

16. Полученная научная и (или) научно-техническая продукция: Эффективный метод численного моделирования отрывных течений на основе уравнений Навье-Стокса в преобразованных переменных; итерационные методы для гладких и негладких равновесных задач в условиях типа монотонности; новый класс квазирешений основной обратной краевой задачи аэрогидродинамики, теоремы о непустоте множества допустимых решений; математическая модель влагопереноса в ненасыщенной пористой среде, учитывающая потоки в областях насыщенности ниже остаточной, а также эффекты релаксации и гистерезиса; новая эквивалентная формулировка параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области в виде эволюционного операторного уравнения с ограниченным оператором, оценки точности регуляризованных решений; сеточные схемы для задачи о препятствии на основе декомпозиции области с неналегающими подобластями; итерационный метод решения задачи Стефана с локальным движущимся по границе распределенным источником; новая реологическая модель морского льда, учитывающая зависимость величины торошения и скольжения льдин от деформации; программы расчетов и графики зависимостей скорости движения фронта загрязнения и времени достижения загрязнением зеркала грунтовых вод от конкретной пары грунт - вещество; нижняя оценка сложности для одностороннего квантового коммуникационного вычисления булевых функций; нижняя оценка сложности реализации почти всех булевых функций в квантовых OBDD; теоремы о сложности представления языков в много раз измеряемых квантовых конечных автоматах.

17. Ключевые слова и словосочетания, характеризующие результаты (продукцию): численные методы, математическое моделирование, вариационные неравенства, итерационные методы, оптимальное управление, метод конечных элементов, смешанные гибридные элементы, предобусловливатель, обратные краевые задачи, уравнение Навье-Стокса, потенциально-вихревое течение, фильтрация, изотерма сорбции, параметрический анализ, сложность вычислений, квантовые вычисления, бинарные программы, конечные автоматы, коммуникационные вычисления, генераторы случайных последовательностей.

18. Наличие аналога для сопоставления результатов (продукции) или отсутствие аналогов: Для решения уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - завихренность" известны численные методы, которые, однако, ограничиваются случаями симметричных стационарных течений. Итерационные методы для равновесных задач построены в случае гладкого и сильно монотонного основного отображения. Вариационная задача, возникающая при решении обратной краевой задачи аэрогидродинамики, не исследовалась ранее в случае неединственного решения. Известны другие математические модели влагопереноса в ненасыщенной пористой среде. Для решения вариационных неравенств, рассмотренных в проекте, имеются другие численные методы. Однако, по сравнению с линейными уравнениями, класс таких методов достаточно узок. При моделировании процессов динамики морского льда часто используется модель Гиблера. Для задачи о движении фронта загрязнения имеются исследования проникновения в грунт некоторых солей тяжелых металлов. В области квантовых коммуникационных вычислений аналогом полученного результата является нижняя оценка сложности для одностороннего квантового коммуникационного вычисления булевых функций, полученная Хартмутом Клауком и представленная на конференции STOC в 2000 году. В области квантовых конечных автоматов аналогом является модель много раз измеряемых конечных автоматов, предложенная Кондаксом и Ватрусом.

19. Преимущества полученных результатов (продукции) по сравнению с результатами аналогичных отечественных или зарубежных НИР:

а) по новизне: результаты являются новыми

б) по широте применения: в масштабах отрасли

в) в области получения новых знаний Известные методы численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - завихренность" ограничивались случаями симметричных стационарных течений. Полученные дополнительные соотношения позволили реализовать процедуру определения граничных значений искомых функций для сложных течений отрывного обтекания произвольной системы тел, что существенно расширяет класс задач, которые могут быть поставлены и решены в рамках данной модели. Ранее итерационные методы для равновесных задач строились лишь для вариационных неравенств с гладким и сильно монотонным основным отображением, из-за отсутствия конструктивной оценки точности приближений в условиях типа монотонности использовались главным образом методы итеративной регуляризации. При решении вариационных задач возникает вспомогательная задача исследования непустоты множества допустимых функций, соответствующая нахождению такой постоянной (критической максимальной скорости) в используемом ограничении, что в случае, когда выбранная постоянная меньше названной величины, множество допустимых функций пусто, а в противном случае решение вариационных задач существует и единственно. Ранее эта задача не исследовалась. Для этой задачи предложен ряд методов решения и на основе анализа результатов вычислительных экспериментов выбран наиболее эффективный из них - метод расщепления с возрастающей последовательностью итерационных параметров. Показано, что новая математическая модель влагопереноса в ненасыщенной пористой среде, учитывающая потоки в областях насыщенности ниже остаточной, а также эффекты релаксации и гистерезиса, более полно отражает специфику процесса влагопереноса в пористых средах. В отличие от известных моделей она позволяет не только качественно, но и количественно правильно воспроизводить гравитационную неустойчивость инфильтрационных потоков в ненасыщенных пористых средах. Полученная эквивалентная формулировка параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области в виде эволюционного операторного уравнения с ограниченным оператором позволяет, с одной стороны, строить новые регуляризирующие алгоритмы, с другой - уточнить оценки для известных алгоритмов. Построены новые итерационные методы, которые могут быть использованы при решении эллиптических вариационных неравенств. Результаты тестирования модели морского льда были сравнены с результатами модели Гиблера, которая часто используется при моделировании динамики морского льда, например, в программе CICE. Было показано, что разработанная модель более точно моделирует пространственное распределение характеристик ледяного покрова, что может дать существенное преимущество при моделировании климата полярного региона. Получен программный код, при помощи которого можно оценить последствия аварии для произвольной пары грунт-вещество при условии, что известны соответствующие им параметры изотермы сорбции. Полученная оценка сложности вычислений в квантовой коммуникационной модели вычислений является обобщением нижней оценки Клаука. Преимуществом полученной модели много раз измеряемых квантовых конечных автоматов является то, что она способна распознавать все регулярные языки, в отличие о модели Кондакса, Ватруса, которая распознает лишь собственное подмножество регулярных языков.

20. Степень готовности полученных результатов к практическому использованию: выполнен эксперимент. образец (установки,методики,системы, программы и т.д.)

21. Предполагаемое использование результатов и продукции: Результаты работы, выполненной в рамках темы, могут быть использованы при подготовке спецкурсов, читаемых студентам старших курсов математических специальностей.

Программа расчетов зависимости скорости движения фронта загрязнения и времени достижения загрязнением зеркала грунтовых вод от конкретной пары грунт - вещество может быть использована при оценке последствий аварийного разлива водорастворимого загрязнения на поверхности грунта. Вычислительная схема для нестационарной температурной задачи Стефана позволяет получить достаточно подробные тепловые поля вокруг движущегося распределенного источника, когда его характерные размеры много меньше размеров области и может быть использована для решения прикладных задач, связанных с моделированием тепловых процессов при электродуговой и лазерной сварке.

22. Форма представления результатов НИР:

статьи в российских изданиях - 13

статьи в зарубежных изданиях - 7

доклады - 11

другие публикации - 4
23. Библиографический список публикаций, отражающих результаты работы:

статьи в российских изданиях:

1. Мазо, А.Б. О граничных условиях для уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока - завихренность при моделировании обтекания системы тел [Текст]/ А.Б. Мазо, Р.З. Даутов // Инженерно-физический журн. - 2005. - Т. 79, №2. - C. 136-142.

2. Мазо, А.Б. Численное моделирование вязкого отрывного обтекания вращающегося кругового цилиндра [Текст]/ А.Б. Мазо, И.В. Моренко // Инженерно-физический журн. - 2006. - Т. 79, №3. - C. 1-7.

3. Мазо, А.Б. Моделирование вязкого обтекания системы тел в переменных "функция тока - завихренность" [Текст]/ А.Б. Мазо // Модели и методы аэродинамики. Материалы международной школы-семинара. - Москва: МЦМНО, 2005. - C. 88-89.

4. Елизаров, А.М. Точные решения некоторых задач аэродинамической оптимизации [Текст] / А.М. Елизаров, Д.А. Фокин // ПММ. - 2005. - Т. 69, Вып. 5. - С. 742-758.

5. Елизаров, А.М Квазирешения обратных краевых задач аэрогидродинамики с ограничением на максимум скорости [Text]/А.М.Елизаров, А.Э. Илюхин, А.В. Лапин// Изв. вузов Авиационная техника. - 2005. - № 1. - С. 28-33.

6. Elizarov, A.M. Variational inverse boundary-value problems: theory and applications [Text]/A.M. Elizarov, A.R. Kacimov.//Int. Conf. Information Technologies and Inverse Problems of Nature Management. - Khanty-Mansiysk, 2005.

7. Ахтареев, А.А. Метод смешанной переменной приближенного решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде [Текст]/ А.А. Ахтареев, Р.З. Даутов// Теория сет. методов для нелин. задач. - Казань, 2005. - С. 35-39.

8. Корнилов, Г.П. Метод решения параметрической задачи на собственные значения на плоскости [Текст]/ Г.П. Корнилов, Р.З. Даутов// Теория сет. методов для нелин. задач. - Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва, 2005. - С. 149-153.

9. Денисова, А.И. Приближенный метод определения свободной границы в одномерной параболической задаче с препятствием[Текст]/ А.И. Денисова, Р.З. Даутов// Теория сет. методов для нелин. задач. - Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва, 2005. - С. 77-81.

10. Коннов, И.В. Приближенный метод двойственного типа для систем вариационных неравенств [Текст]/И.В. Коннов// Изв.вузов. Математика.- N 12. - 2005.

11. Коннов, И.В. Метод спуска для монотонных задач равновесия [Текст] / И.В. Коннов, О.В. Пинягина // Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан. мат. о-ва, 2005. - Т.30. - С.86-87.

12. Игнатьева, М.А. Решение задачи о препятствии методом декомпозиции области [Текст]/ М.А. Игнатьева, А.В. Лапин// Ученые записки Казанского государственного университета. Серия физико-математические науки. - 2005. - Т. 147, N 2. - С. 25-40.

13. Кадыров, Р.Ф. Расчет тепловых полей при сварке пластин движущимся источником[Текст]/ Р.Ф. Кадыров, А.Б. Мазо// Труды Всеросс. шк.-семинара "Современные проблемы математического моделирования" - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2005. - С. 161-170.

статьи в зарубежных изданиях:

1. Ablayev, F. Complexity of quantum uniform and nonuniform automata [Text] / F. Ablayev, A. Gainutdinova // Developments of language theory DLT2005, Palermо, Proc. Lecture Notes in Computer Science. - 2005. - V. 3572. - P.78-87.

2. Ablayev, F. On the computational power of probabilistic and quantum branching program [Text] / F. Ablayev, A. Gainutdinova, M. Karpinski, C. Moore, C. Pollette // Information and Computation. - 2005. -V.203, N.2. - P.145-162.

3.Konnov, I.V. Descent methods for monotone equilibrium problems in a Banach space [Text]/I.V. Konnov, M.S.S. Ali// J. of Computational and Applied Matр. - 2006.

4. Konnov, I.V. Partial proximal point method for non monotone equilibrium problems [Text]/I.V. Konnov // Optimization Methods and Software. - 2006.

5. Konnov, I.V. Convex optimization problems with arbitrary right-hand side perturbations [Text]/I.V. Konnov// Optimization. - 2005. - V.54, N 2. - P. 131-147.

6. Dautov, R. Dynamic Capillary Pressure Mechanism for Instability in Gravity-Driven Flows; Review and Extension to Very Dry Conditions [Text]/ R. Dautov, L. Nieber, A. Egorov, A.Sheshukov // Transport in Porous Media. - 2005. - V. 58. - P. 147-172.

7. Wilchinsky, A.V.Anisotropic model for granulated sea ice dynamics [Text]/ A.V. Wilchinsky, D.L. Feltham//Journal of the mechanics and physics of solids. - 2006.

доклады:

1. Mазо, А.Б. Моделирование вязкого обтекания системы тел в переменных "функция тока - завихренность" / А.Б. Мазо // Международная школа-семинар "Модели и методы аэродинамики", г. Евпатория, 3-10 июня, 2005 г.

2. Elizarov, A.M. Variational inverse boundary-value problems: theory and applications/A.M. Elizarov, A.R. Kacimov.//Int. Conf. "Information Technologies and Inverse Problems of Nature Management", Russia , Khanty-Mansiysk, April 12 - 14, 2005.

3. Елизаров, А. М. Точные решения одной вариационной задачи М. А. Лаврентьева / А.М. Елизаров// VI Междунар. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике", г. Новосибирск, 27 - 31 мая 2005 г.

4. Аксентьев, Л. А. О продолжении работ Ф. Д. Гахова по обратным краевым задачам/ Л.А. Аксентьев, А. М. Елизаров // Междунар. школа-конф. "Комплексный анализ и его приложения", посв. памяти профессора И. П. Митюка, г. Краснодар, 11 - 17 сент. 2005 г.

5. Елизаров, А. М. Вариационные обратные краевые задачи для аналитических функций и их приложения/ А.М. Елизаров // Междунар. школа-конф. "Комплексный анализ и его приложения.", посв. памяти профессора И. П. Митюка, г. Краснодар, 11 - 17 сент. 2005 г.

6. Ахтареев, А.А. Метод смешанной переменной приближенного решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде/ А.А. Ахтареев, Р.З. Даутов// VI Всеросс. семинар "Теория сеточных методов для нелин. краевых задач", г. Казань, 2005 г

7. Корнилов, Г.П. Метод решения параметрической задачи на собственные значения на плоскости / Г.П. Корнилов, Р.З. Даутов// VI Всеросс. семинар "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", г. Казань, 1-4 октября, 2005 г.

8. Денисова, А.И. Приближенный метод определения свободной границы в одномерной параболической задаче с препятствием/ А.И. Денисова, Р.З. Даутов//VI Всеросс. семинар "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", г. Казань, 1-4 октября, 2005 г.

9. Коннов, И.В. Метод спуска для монотонных задач равновесия / И.В. Коннов, О.В. Пинягина // VII Междунар. летняя научная школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", г. Казань, 27 июня - 4 июля, 2005 г.

10. Костерина, Е.А. Моделирование инфильтрации жидкого загрязнения в приповерхностный слой грунта с учетом сорбции / Е.А. Костерина // Всеросс. конф. "Современные аспекты экологии и экологического образования, г. Казань,19-23 сентября, 2005 г.

11. Кадыров, Р.Ф. Расчет тепловых полей при сварке пластин движущимся источником / Р.Ф. Кадыров, А.Б. Мазо// Всероссийская школа-семинар "Современные проблемы математического моделирования", г. Новороссийск, 5-10 сентября, 2005.

другие публикации:

1. Елизаров, А. М. Точные решения одной вариационной задачи М. А. Лаврентьева [Текст]/ А.М. Елизаров// Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тез. докл. VI Междунар. конф. - Новосибирск, 2005. - С. 14.

2. Аксентьев, Л. А. О продолжении работ Ф. Д. Гахова по обратным краевым задачам [Текст]/ Л.А. Аксентьев, А. М. Елизаров // Комплексный анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. - Краснодар: Кубанский ун-т, 2005. - С. 7-12.

3. Елизаров, А. М. Вариационные обратные краевые задачи для аналитических функций и их приложения [Текст]/ А.М. Елизаров // Комплексный анализ и его приложения. Тез. докл. межд. шк.-конф.- Краснодар: Кубанский ун-т, 2005. - С. 38-40.

4. Kостерина, Е.А. Моделирование инфильтрации жидкого загрязнения в приповерхностный слой грунта с учетом сорбции [Текст] / Е.А. Костерина // Современные аспекты экологии и экологического образования. Материалы Всеросс. конф. - Казань, 2005. - С. 537.
24. Использование результатов в учебном процессе: использование в преподавании существующих дисциплин

25. Количество сотрудников профессорско-преподавательского состава, принимавших участие в выполнении НИР и указанных в научно-технических отчетах в качестве соисполнителей: 8

26. Количество студентов, принимавших участие в выполнении НИР: 5 , в том числе:

- являющихся авторами публикаций по результатам НИР - 0

- указанных в научно-технических отчетах в качестве соисполнителей - 0

- с оплатой за счет выделенных на данную НИР средств - 0

27. Предполагаемое развитие исследований Построить новые методы решения задач со свободными границами на основе метода декомпозиции области и смешанных и гибридных схем метода конечных элементов. Разработать и численно протестировать параллельные итерационные методы для решения смешанных и смешанных гибридных схем конечных элементов для вариационных неравенств. Построить новые методы решения обобщенных вариационных неравенств; получить результаты существования и единственности решений и разработать методы регуляризации для разложимых вариационных неравенств с обобщенно монотонными многозначными отображениями. Для решения вариационных неравенств с негладкими отображениями разработать метод спуска по интервальной функции. Провести оценки "устойчивости по мере" свободной границы для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области. Разработать новые алгоритмы определения свободной границы в параболических вариационных неравенствах. Решить двумерную задачу со свободной границей о распространении пятна загрязнения в грунте, источником которого может быть находящаяся на поверхности грунта продольная трещина в трубопроводе. Решить задачу о распространении жидкого углеводородного загрязнения от поверхности грунта до зеркала грунтовых вод с учетом трещиновато-блочной структуры зоны аэрации. Исследовать и численно решить задачу о свободной и смешанной конвекции рассола в пористой среде при режимах, порождающих неустойчивость вихревых структур. Провести численное моделирование бифуркации отрывного обтекания тандема круговых цилиндров потоком вязкой жидкости.

Исполнитель НИР _____________________( Лапин А.В. )

Похожие:

Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Исследование магнитных наноструктур для спинтроники Номер государственной регистрации нир

Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Исследование перспективных материалов методами оптической и микроволновой спектроскопии
Тема нир: Исследование перспективных материалов методами оптической и микроволновой спектроскопии
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2004 год Тема нир: Синтез и стереохимия семичленных гетероциклов с атомами O,S,N,P. Номер государственной регистрации нир

Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2004 год Тема нир: Анализ физического состояния вещества в атмосферах звезд разных типов. Номер государственной регистрации нир

Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2004 год Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Тема нир: Исследование колебательных режимов многосвязных распределенных динамических систем
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Создание археологических геоинформационных систем (агис) Республики Татарстан Номер государственной регистрации нир
Тема нир: Создание археологических геоинформационных систем (агис) Республики Татарстан
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2006 год Тема нир: Синтез и исследование новых материалов для квантовой и спиновой электроники
Тема нир: Синтез и исследование новых материалов для квантовой и спиновой электроники
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Математическое моделирование распространения загрязнений в зонах аэрации и атмосфере
Тема нир: Математическое моделирование распространения загрязнений в зонах аэрации и атмосфере
Аннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Численное исследование задач со свободными границами и вариационных неравенств iconАннотированный отчет о научно-исследовательской работе за 2005 год Тема нир: Структурные и оптимизационные задачи теории функций и функционального анализа
Тема нир: Структурные и оптимизационные задачи теории функций и функционального анализа
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org