Золотая пропорция и связанные с нею соотношения



Скачать 52.94 Kb.
Дата08.10.2012
Размер52.94 Kb.
ТипЗанятие
Занятие 2.

Золотая пропорция и связанные с нею соотношения


Цели: закрепить изученный материал; способствовать выра­ботке навыка в решении задач на золотое сечение и связанные с ним соотношения; рассмотреть «золотой» прямоугольник и его свойства.

Содержание занятия

I. Проверка домашнего задания.

П. Лекция.

Отрезок длины .

Это число является обратным по отношению к числу .

В самом деле:



Естественно поставить вопрос о том, как построить отрезок длиной Ф.

Построение.

1) Отложим отрезок АВ = 1; из точки В восстановим перпенди­куляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС = 1.

2) Разделим отрезок АВ пополам точкой О.



3) Из точки О проведем окружность радиусом , пересекающую луч АВ в точке D,

.
Докажем, что
Доказательство.
;

«Золотой» прямоугольник.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношения ее сторон равнялось ф. Такой прямоугольник стали называть «золотым».

Построим «золотой» прямоугольник по описанным ниже указаниям, дошедшим до нас со времен Евклида.

1. Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника.

2. В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ.

3. Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А.




4. Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведите под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.


Измерьте линейкой длины сторон построенного прямоугольника MNKP и вычислите отношение большей стороны к меньшей. (Отношение должно быть 1,6.)

Найдем точное отношение сторон построенного прямоугольника.

Решение.

Обозначим сторону исходного квадрата через а; выразим через а длину диагонали АВ - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом а и ; т.е.

Найдем длины сторон построенного прямоугольника: одна из них равна а, а другая .

Наконец, найдем отношение большей стороны прямоугольника к меньшей, получим

Задача.

Постройте в тетрадях какой-нибудь золотой прямоугольник, т. е. такой, у которого отношение сторон равно 1,6. Отрежьте от него квадрат. Проведите измерения и найдите отношение большей стороны получившегося прямоугольника к его меньшей стороне. У вас опять получится число 1,6, т. е. новый прямоугольник, тоже «золотой».

Если вы продолжите такие же построения, то результат будет тот же. Иными словами, «золотой» прямоугольник «сохраняет форму». Проведите доказательство для первого шага, используя точное значение золотого сечения.

Свойства «золотого» прямоугольника.

Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами. Рассмотрим два из них, тесно связанные друг с другом.

1 свойство. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а>b) отрезать квадрат со стороной b, то получится прямоугольник со сторонами b и a - b, который тоже золотой. Продолжая этот процесс, мы каждый раз будем получить прямоугольник меньших размеров, но опять же золотой.

2 свойство. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется «золотой» спиралью. Точка S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом. Отрезки, соединяющие точку S с точками спирали, называют полярными радиусами.



III Закрепление

Задача 4.

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: разобрать и выучить теоретический мате­риал; № 15, 16.

Занятие 3.

«Золотое» сечение и связанные с ним соотношения (продолжение) возвышенный треугольник. Пятиконечная звезда.

Цели: рассмотреть возвышенный треугольник и пятиконечную звезду; упражнять учащихся в решении задач на «золотую» пропорцию.

Содержание занятия

          1. Проверка домашнего задания (устный опрос).

          2. Лекция.

Много интересных свойств числа Ф можно увидеть в так называемом возвышенном треугольнике - равнобедренном треугольнике, у которого основание равно Ф, а боковые стороны Ф + 1.


==

По таблицам устанавливаем, что А = 72; Е = 36.

С помощью возвышенного треугольника можно доказать одно красивое отношение, связывающее число  и : .

Доказательство.

АМКС – трапеция, у которой АМ = МК = КС = 1. проведем в ней высоты ММ1 и КК1.

Очевидно, что , .

Но АК = АС = Ф.

Тогда ,

Однако .

Так как , то

Итак,

Число  интересно еще и тем, что оно является, диагональю правильного 5-угольника со стороной 1.

Пентаграмма.

Замечательный пример «золотого» сечения представляет собой правильный пятиугольник - выпуклый и звездчатый.



Из подобия ACD и АВЕ можем вывести уже известную пропорцию:

Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый, пятиугольник называется пентаграммой (от слова «пенте» - пять). Он служит символом Пифагорейского союза религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором (около 580-500 гг. до н. э.), которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Построим звездчатый пятиугольник. Для этого из центра окружности последовательно отложим углы с вершиной в центре окружности, равные.

Стороны углов пересекут окружность в пяти точках. Соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольнике все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т. е. знаменитую пентаграмму.

Интересно, что стороны пентаграммы, пересекаясь, образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

III. Закрепление.

Задачи 9; 15.

IV. Подведение итогов.

Обсуждение и распределение тем докладов, сообщений и рефератов.

Домашнее задание: № 10.

Похожие:

Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconОткуда возникает золотая пропорция в природе? А. С. Харитонов Многие задаются вопросом, откуда берется золотая пропорция?! Почему она «золотая» или «божественная»
Хх века, задавался следующим вопросом, почему математически очевидная золотая пропорция оказывается скрытой и непроявленной в повседневной...
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconЗанятие Тема: Золотая пропорция. Общие сведения Цели Развитие интереса к математике
Обеспечение усвоения понятия «золотая пропорция», понимания того, что математика «не сухая наука»
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconПрограмм а элективного курса по математике в 8 классе Золотая пропорция и симметрия вокруг нас Ермишко Ольги Константиновны
«Золотая пропорция и симметрия вокруг нас» направлен на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений...
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconЗанятие «Золотая»
Цель: познакомить учащихся с золотой пропорцией и связан­ных с нею соотношений, наблюдаемых в живой природе
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconЗолотая пропорция
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого...
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconИсследовательская работа по теме: «Золотая пропорция» универсальная мировая константа обучающаяся 11 «Б» класса
Или все-таки он — мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен....
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconСказка «Принцесса -пропорция»
Тип урока : закрепление изучаемого материала, урок-сказка «Принцесса –Пропорция»
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconКто же она такая Золотая Баба? Юмала, Золотая Баба, Золотая Старуха, Калтась, Гуаньинь, Дьес Эмигет (Медная Статуя), Сорни Най (Золотая Владычица), Сорни Эква (Золотая Женщина), Злата Майя
Старуха, Калтась, Гуаньинь, Дьес Эмигет (Медная Статуя), Сорни Най (Золотая Владычица), Сорни Эква (Золотая Женщина), Злата Майя...
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconДиалектика идеального
«Идеальное» — или «идеальность» явлений — слишком важная катего­рия, чтобы обращаться с нею бездумно и неосторожно, поскольку имен­но...
Золотая пропорция и связанные с нею соотношения iconУрок по теме: «Отношения и пропорция»
Цель: Систематизировать знания учащихся по теме: «Отношения и пропорция». Закрепить умения решать пропорцию и задачи с помощью пропорции....
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org