Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида



страница1/6
Дата09.07.2014
Размер0.55 Mb.
ТипРешение
  1   2   3   4   5   6
1. Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней.

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

                                                         ,                                                 (3.1)

где функция нелинейная:

–     нелинейная алгебраическая функция вида

;

–     трансцендентная функция (тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная или гиперболическая функция);

–     функция, полученная комбинированием этих функций.

Решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка  которая при подстановке в уравнение (3.1) обращает его в тождество. На практике не всегда удаётся подобрать такое решение точно. В этом случае решение уравнения (3.1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка , при подстановке которой в уравнение (3.1) последнее будет выполняться с определённой степенью точности, т. е.

 

,где  − малая величина.

Процесс решения нелинейных уравнений предполагает реализацию  двух этапов:

1)  отделения корней нелинейных уравнений;

2)  уточнения корней нелинейных уравнений. 

3.1.1. Отделение корней нелинейных уравнений 

 

На этом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются у него корни или нет. Если корни есть, то необходимо уточнить, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень уравнения. Рассмотрим несколько способов отделения корней нелинейного уравнения.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения (3.1), можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближённым значением корня. Если функция png" name="рисунок 329" align=bottom width=72 height=27 border=0> имеет сложный вид, то её можно представить в виде разности двух функций . Так как 
то выполняется равенство . Построим два графика . Значение  − приближённое значение корня (рис. 3.1) − является 
абсциссой точки пересечения двух графиков.

Следующий способ отделения корней – аналитический. В этом случае процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

 Теорема 3.1. Если функция  непрерывна на отрезке  и меняет на концах отрезка знак, т. е. , то на отрезке  содержится хотя бы один корень уравнения 

 

Теорема 3.2. Если функция  непрерывна на отрезке , выполняется условие вида  и производная функции  сохраняет знак на отрезке , то на отрезке содержится единственный корень уравнения 

Теорема 3.3. Если функция  является многочленом  степени  и на концах отрезка  меняет знак, т. е. , то на отрезке  имеется нечётное количество корней (если производная функции  сохраняет знак на отрезке , то корень единственный). Если на концах отрезка  функция не меняет знак, т. е. , то уравнение (3.1) либо не имеет корней на отрезке , либо имеет чётное количество корней.

 

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого нужно определить критические точки , т. е. точки, в которых первая производная  равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности  функции. На каждом из них следует определить знак производной , где , а затем выделить те интервалы монотонности, на которых функция  меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

2. Решение нелинейных уравнений: метод половинного деления.
Метод половинного деления. Для уточнения корня нелинейного уравнения (3.1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок  пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков  и  выберем тот, на котором функция меняет знак.     

Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т. д. Получим последовательность вложенных отрезков

 

на концах которых выполняется неравенство ,

где                                          .                                        (3.2)

Последовательность  является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью, а последовательность  − монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Значит, существует предел

 

.

Тогда                                .

Оценку погрешности решения на -м шаге вычислений можно получить из соотношения (3.2) в виде

                                                                    (3.3)

Здесь  с точностью  не превышающей .

3. Метод простой итерации

Этот метод состоит в следующем: система уравнений (1) или (2) преобразуется к виду:



(3)

………………………………



Или , (4) где функции действительны и непрерывны в некоторой окрестности.



Итерации проводятся по формуле ,(5)

или

или

………………………………………………



Подойдем к изучению этого метода с более общих позиций.

Пусть - полное метрическое пространство, а оператор отображает в себя.

Рассмотрим итерационный процесс как (6)

Решим уравнение (7)

Если при некотором , отображение удовлетворяет условию (8)

при всех , то такое отображение называют сжимающим.

4. Решение нелинейных уравнений: теорема о достаточных условиях сходимости метода простой итерации.

Теорема. Если отображение сжимающее, то уравнение имеет решение и ,

где расстояние между и .

Доказательство.

Согласно (8)

имеем:

, поэтому



При имеем цепочку неравенств.

то есть неравенством (9) мы на самом деле показали, что последовательность является фундаментальной последовательностью.

Согласно критерию Коши последовательность имеет некоторый предел .

Переходя к пределу в неравенстве (9) при получаем



Теперь осталось доказать, что предел является решением системы , то есть надо доказать, что .

Вектор является решением системы , так как переходя к пределу при к стремящемся к бесконечности и учитывая непрерывность вектор-функции будем иметь , то есть .
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconЗадача нахождения корней нелинейных уравнений вида
В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные,...
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида icon«приближенные методы вычисления корней нелинейных уравнений»
При изучении темы «Математическое моделирование» в рамках предмета «Информатика и икт» меня заинтересовала тема, связанная с нахождением...
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconРешение нелинейных уравнений в редакторе электронных таблиц Calc
Обязательная. Отделение корней. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconЛабораторная работа №8 решение нелинейных уравнений отделение корней Отделить корень уравнения f X
Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [a,b] является сохранение знака производной. При отделении корней стараются...
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconРешение нелинейных уравнений и систем уравнений. Методы простой итерации и Ньютона
Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconДисциплина: Прикладная математика Факультет: 8 Курс: 2 Семестр: 4 Вопросы к коллоквиуму «методы приближённых вычислений»
Приближенное решение нелинейных уравнений. Отделение корней. Геометрическ интерпретация
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconМетоды решения тригонометрических уравнений
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение...
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconУравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение
Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда...
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconВопросы и задания к экзамену по предмету «Численные методы»
Алгебраические и трансцендентные уравнения. Общие методы решения нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений: методы отделения корней. Нелинейными уравнениями называются уравнения вида iconЛекция «Целые рациональные уравнения»
Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки. 13 Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений. 23 Решение...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org