Канонические уравнения



Скачать 34.81 Kb.
Дата17.10.2012
Размер34.81 Kb.
ТипДокументы


Геометрические свойства кривых второго порядка.

Уравнение

(1)

задаёт на плоскости множество точек, называемое кривой второго порядка.

Канонические уравнения:

– эллипс, – точка, – мнимый эллипс;

– гипербола, – пара пересекающихся прямых;

– парабола, – пара параллельных прямых,

– пара совпадающих прямых, – пара параллельных мнимых прямых.
Инварианты:

, – дискриминант старших членов,
– дискриминант уравнения (1).

В этих выражениях считается, что .

Инварианты – параметры, которые остаются неизменными (инвариантными) при переходе от одной декартовой системы координат к другой декартовой системе координат.

Есть ещё несколько существенных параметров уравнения (1):


и корни характеристического уравнения:

, которое равносильно уравнению (2)

Известна связь: , .


При этом, параметры канонических уравнений можно получить, не проводя замен переменных из следующих формул:

Для эллипса: , ;

Для гиперболы: , ;

Для параболы: .

Любую невырожденную кривую второго порядка можно в подходящей системе координат представить уравнением:

(3)

В этом случае:

– кривая проходит через начало координат,

– ось является осью симметрии кривой.
Невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кривая является эллипсом при и, в частности, окружностью при , параболой при и гиперболой при .

Уравнение директрисы кривой, заданной в (3): ;

Координаты фокуса: ;

Расстояние от фокуса до директрисы: ;

Фокальный параметр: .

Если кривая – центральная (эллипс или гипербола), то прямая является осью симметрии кривой, и, следовательно, кривая имеет 2 фокуса и 2 директрисы.




Эллипс


Гипербола


Парабола

Каноническое уравнение









Эксцентриситет









Фокусы










Директрисы








Фокальный параметр








Фокальные радиусы

(расстояния от фокусов до точки кривой с координатами )












Геометрический смысл



Сумма расстояний от точки эллипса до фокусов постоянна (и равна )



Разность расстояний от точки гиперболы до фокусов постоянна (и равна )

Расстояние от точки параболы до фокуса равно расстоянию от этой же точки до директрисы


Эллипс Гипербола


асимптоты


Парабола





директриса

Похожие:

Канонические уравнения icon11. Алгебраические линии и поверхности второго порядка, канонические уравнения, классификация
Являются инвариантами линий 2-го порядка относительно преобразований декартовой системы координат
Канонические уравнения icon43. КанониЧеские уравнениЯ движениЯ и принцип экстремального действиЯ
Основная задача механики голономных систем – определение закона движения решением уравнений движения Лагранжа
Канонические уравнения iconКанонические уравнения
...
Канонические уравнения iconЛитература Премудрости" Лекция Канонические собрания речений. Притча "
Лекция Канонические собрания речений. Притча ("машал") и ее структура. Учительная литература на Древнем Востоке, библейские параллели....
Канонические уравнения iconОпределение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решения
Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения. Сформировать умения различать квадратные уравнения, определять...
Канонические уравнения iconМатематика 2 курс 3-й семестр
Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные дифференциальные...
Канонические уравнения iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
Канонические уравнения iconЛинейные уравнения с двумя переменными
Образовательные: а повторение темы: «Уравнения. Линейные уравнения. Равносильные уравнения и их свойства»
Канонические уравнения iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Канонические уравнения iconТема Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем
Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org