2.5 Статья «Решетки и правильные многоугольники» 21
2.6 Динамические модели 22
2.7 Исторические сведения для учеников и студентов по теме «Правильные многоугольники» 24
Заключение 25
Список использованных источников 26
Введение
В окружающем мире прекрасное сложно и многообразно. Восприятие красоты предполагает знакомство с её простейшими, первичными элементами. Изучение правильных многоугольников в планиметрии позволит ликвидировать кажущийся отрыв математики от реальности, поможет учащимся понять, что законы математики взяты из природы и объясняют природу.
Курс изучения правильных многоугольников предполагает:
- изложение общих вопросов о правильных многоугольниках (определение, теоремы, исторические сведения);
- доказательство теоремы о вписанной и описанной окружностях;
- вывод формулы для нахождения элементов правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности;
- построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в окружность.
Кроме учебной цели достигаются и другие:
– воспитание эстетического вкуса, развитие элементов творчества.
- систематизация знаний учащихся о симметрии, знакомство с различными видами симметрии живой и неживой природы, применением симметрии.
- знакомство учащихся с делением отрезка в отношении золотого сечения и его использованием в архитектуре, скульптуре, музыке, живописи.
К данной теме существует большое количество дополнительной литературы, публикуются статьи в периодических изданиях, имеется очень много информации в Интернет-ресурсах. В данной курсовой работе приводятся ссылки на эти материалы.
1 Анализ методической литературы по теме
1.1 Анализ содержания учебных пособий и методические особенности преподавания темы «Правильные многоугольники»
В данной курсовой работе проводится анализ темы «Правильные многоугольники» на примере учебных пособий разных авторов, в частности:
1. «Геометрия», В.В.Шлыков, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения, 2-е издание, 2007.
2. «Геометрия, 10 кл», Н.В.Гвоздович, Т.П. Кубеко, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования, с русским языком обучения с 12-летним сроком обучения(базовый и повышенный уровни), 2006.
3. «Геометрия, 10», Н.М Рогановский, 2007(для 12-летки), а также «Геометрия, 7-9»,1997(для 11-летки).
4. «Математика. Алгебра и геометрия», Г.Н. Солтан, 2006 год, учебное пособие для 10 класса учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования с 12-летним сроком обучения(базовый и повышенный уровень).
Шлыков в учебном пособии для 10 класса выделил третью главу «Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Координатный метод», где посвятил весь первый параграф изучению правильных многоугольников. Гвоздович также в главе под тем же названием, как и у Шлыкова отдает этой теме отдельный параграф. Аналогично поступает и Солтан. Рогановский в издании 2007 года для 12-летний школы поступает иначе. А именно, в третьем разделе под названием «Правильные многоугольники. Длина окружности. Площадь круга» он выделил отдельные параграфы:
16 Определение правильного многоугольника. Сумма углов многоугольника.
17 Центр правильного многоугольника.
18 Построение некоторых правильных многоугольников, вписанных в окружность.
19 Выражение элементов правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.
Далее в этом разделе приводятся параграфы, связанные с длинной окружности и площадью круга. В издании Рогановского 1997 года для 11-летки, автор выделил отдельную десятую главу под названием «Правильные многоугольники». В конце учебного пособия за 2007 год в части «Дополнительный материал» автор приводит раздел «Практические применения теории правильных многоугольников».
Атанасян выделяет в главе «Длина окружности и площадь круга» раздел «Правильные многоугольники», куда помещает 3 пункта:
- правильный многоугольник;
- окружность, описанная около правильного многоугольника;
- формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
Шарыгин поступает аналогично Шлыкову.
В учебном пособии Шлыкова дано опрделение правильного многоугольника в седующей формулировке: правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
У Рогановского похожее определение: выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.
Гвоздович поступает так же как и Шлыков, только он не выделяет в своем пособии эту формулировку именно как определение. Это слово у него не присутствует. Это можно назвать недостатком, т.к. ученики лучше реагируют на такого рода «якоря». У Солтана аналогичная другим учебным пособиям формулировка и он дает ее в самом начале параграфа как «определение», выделенное другим шрифтом.
После определения Шлыков советует вспомнить ранее пройденный материал, где была доказана теорема о том, что сумма углов любого выпуклого n-угольника равна 180°(n-2). Автор замечает, что каждый угол правильного n-угольника равен
И дальше приводит пример:
для правильного шестиугольника ;
для правильного восьмиугольника .
Рогановский же выделяет два утвержения в следствия из теоремы о сумме углов треугольника. И ниже доказывает одно из них, а второе предлагает доказать самостоятельно. Гвоздович так же как и Шлыков приводит эти утверждения в тексте не выделяя для них отдельного следствия.
Таким образом, все авторы, кроме Солтана, дают этот материал. У Солтана в теоретической части это не присутствует, но в конце параграфа в списке задач он предлагает вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника в зависимости от числа его сторон (задача №288). Так же у него есть такие задачи, как № 296: найдите углы правильного семиугольника.
Шлыков второй пункт посвящает окружности, описанной около правильного многоугольника и дает определение: окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. При этом многоугольник называется вписанным в окружность. Далее формулирует теорему, которой дает название – об окружности, описанной около правильного многоугольника. Формулировка такая: около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. Нужно отметить, что для учеников очень полезно давать названия для теорем, а не просто присваивать им номера. Так им будет проще ориентироваться в материале и запоминать его. Далее идет доказательство этой теоремы.
Третий пункт посвящен окружности, вписанной в правильный многоугольник. Так же формулируетя теорема, которая носит название – об окружности, вписанной в правильный многоугольник: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну. И теоремы и их названия выделены разными шрифтами, что очень полезно.
В учебном пособии Рогановского, автор приводит теорему и выделяет в ней два пункта: 1. Около правильного многоугольника можно описать окружность.
2. В правильный многоугольник можно вписать окружность.
И доказывает эти, фактически, две теоремы.
Отрицательным в таком виде подачи материала является то, что нет названий к теоремам.
Гвоздович дает, так же как и Шлыков, две отдельные теоремы для описанной и вписанной окружности и говорит их названия. Солтан приводит формулировки и первой и второй, но доказывает только теорему о описанную окружность. Теорему о вписанной окружности предлагает доказать самостоятельно. И у него нет названий теорем.
Четвертый пункт у Шлыкова называется «Выражение элементов треугольника через радиус вписанной или описанной окружностей», где автор выделяет пять пунктов с соответствующими формулировками:
Площадь S правильного n-угольника, описанного около окружности, можем найти через периметр P и радиус r вписанной окружности по формуле .
Сторона правильного n-угольника выражается через радиус r вписанной окружности по формуле .
Сторона правильного n-угольника выражается через радиус R описанной окружности по формуле .
Площадь S правильного n-угольника можем найти по формуле .
Радиус r вписанной окружности выражается через радиус R описанной окружности по формуле .
Все 5 пунктов доказываются.
У Рогоновского в параграфе с таким же названием, как и у Шлыкова, выделены только 3 пункта, первый и третий пункты такие же как и третий и четвертый у Шлыкова, а второй формулируется следующим образом:
периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, находится по следующей формуле .
Далее предлагается самостоятельно доказать формулы для сторон, периметра и площади правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r: , , .
У Гвоздовича без выделения отдельных пунктов, непосредственно в тексте выводятся формулы:
, , , .
Так же у этого автора выводятся формулы для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника.
Солтан в своем учебном пособии разбирает 2 задачи, которые формулирует следующим образом:
Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус окружности, описанной около него, равен R.
Найти длину стороны правильного многоугольника, если радиус окружности, вписанной в него, равен r.
Так же он приводит формулы для площадей с указаниями для доказательства.
Теперь рассмотрим вопрос о построении правильных многоугольников. В учебном пособии Шлыкова решаются задачи:
Постройте правильный треугольник, вписанный в данную окружность.
Постройте правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку a.
К задачам приведены 6 иллюстраций с пошаговой демонстрацией построений.
Рогановский рассматривает большее количество задач, одна из которых такая же как первая у Шлыкова, а остальные:
Постройте правильный шестиугольник, вписанный в окружность.
Постройте правильные десятиугольник и пятиугольник, вписанные в данную окружность.
Задачу о построении квадрата, вписанного в окружность и выражении его сторон через радиус описанной окружности предлагается решить самостоятельно. Также Рогановский выводит 3 следствия:
Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности следующим образом: .
Стороны правильных десятиугольника и пятиугольника, вписанных в окружность радиуса R, выражаются через радиус следующим образом:
, .
Отрицательным является то, что у автора к 3 решенным задачам только 4 иллюстрации.
Гвоздович рассматривает задачи о построении правильного шестиугольника, сторона которого равна данному отрезку и дает короткие указания. Так же он приводит такую задачу с указаниями к решению: дан правильный n-угольник. Постройте правильный 2n-угольник. У этого автора только одна иллюстрация ко второй задаче.
Солтан вообще в теоретическом материале не предлагает задач на построения, но он дает их для самостоятельного решения в списке упражнений после параграфа(задача №306: постройте правильный шестиугольник по отрезку, равному его меньшей диагонали, №321: постройте правильный двенадцатиугольник, №331: постройте правильный пятиугольник со стороной а и найдите его площадь) .
В учебном пособии Рогановского так же присутствует раздел, посвященный интересным фактам из истории развития проблемы построения правильных многоугольников. Это всегда вызывает большой интерес у школьников и делает материал более разнообразным.
Таким образом, в разделе о построениях положительным является: наличие большого количества иллюстраций с пошаговой демонстрацией построений, выделение основных следствий из решенных задач, наличие интересных исторических сведений.
;
.
.
правильного n-угольника выражается через радиус r вписанной окружности по формуле 
.
.
.
.
правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, находится по следующей формуле 
.
, 
.
.
, 
.
