Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»

1. 
   Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A ?
   

2. 
   Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ?
   

y =

3. 
   Являются ли группами следующие алгебры:
   

4. 
   С помощью таблицы Кели определить, являются ли данные конечные множества группами
   

){=

+

,

= }

5. 
   Проверить, является ли H подгруппой группы A, будет ли она циклической? Если да, каков порядок порождающего элемента?
   

1. 
   A = 3Z, H =9Z относительно сложения целых чисел,
   
2. 
   A=S₃, H = { e = } относительно умножения подстановок.
   
1. 
   Найти циклическую подгруппу группы A относительно заданной операции, порождён­ную элементом b.
   

3. 
   Найти левостороннее и правостороннее разложения на смежные классы группы A по
   

b) A=S₃, H = { e = }

4. 
   Построить фактор- группы:
   

= }

5. 
   Доказать изоморфизм групп:
   

b) 1 = ,×>; 2 = {a + b| a,bÎ Q, a² + b²>0},×>.

4. 
   Линейный оператор j имеет матрицу= относительно базиса (1) a₁ =(1,2); a₂ =(3,7).
   

матрицу оператора

4. 
   Покажите, что оператор дифференцирования является линейным оператором пространства многочленов степени, не превосходящей n от одной переменной с действительными коэф­фициентами. Найдите матрицу этого оператора относительно базиса (1, x, x²,…, xⁿ).
   
5. 
   Пусть линейный оператор в пространстве Т₂ = {f(x) = a₀+a₁x+ a₂x²| a₀, a₁, a₂Î R} имеет в базисе (1)(1, x, x²) матрицу . Найти его матрицу в базисе:
   

4. 
   В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис, состоящий из матриц:
   

1. 
   Е₁ = _, E₂ = _, Е₃ = _, E₄ = _.
   

4. 
   Составьте характеристическое уравнение и найдите собственные значения и собственные векторы оператора ортогонального проектирования на ось OX пространства геометрических векторов плоскости, выходящих из начала координат O .
   
5. 
   Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора j: R³® R³, если
   

К.п.н., доцент __________________ Е.В. Евсюкова