Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»



Скачать 53.16 Kb.
Дата11.10.2012
Размер53.16 Kb.
ТипКонтрольная работа
Контрольные работы по алгебре

для II-го курса математиков (3 семестр)

Контрольная работа № 1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы»

Вариант № 1

1. Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2,0, x1 - x3 ). Определить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.

2. Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу =. Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если

f1 = e1+ e3,, f2 = e1+ e2+ e3, f3 = e1+ 2e3.

3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:

= (x1 - x2 , x1 - x2, x3)

4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .

=

Вариант 2

1.Будет ли линейным оператором векторного пространства R3 отображение j ( x1, x2, x3 ) = ( x1 – x2 – x3, - 3x2+3x3, x2 - x3 ). Опре­де­лить его матрицу, дефект, ранг, построить базисы ядра и образа.

2.
Линейное отображение j векторного пространства R3 имеет в базисе (1) { e1, e2, e3 } матрицу =. Найти матрицу отображения j в базисе (2) { f1, f2, f3 }, если

f1 = e1+ e3, f2 = e1+ e2+ e3, f3 =2e1+ e2 + 3e3.

3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейного оператора пространства R3:

= (x1 , x1,0)

4. В пространстве R3 найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора q, заданного матрицей .

=
Контрольная работа № 1 по теме: «Элементы теории групп»

Вариант №1

1. Является ли группой <А = {a + b }, +>?

2. Образует ли подмножество H = {7k, kÎZ} подгруппу группы ?

3. Построить фактор-группу аддитивной группы 3Z по подгруппе 9Z?

4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по циклической подгруппе, порождённой подстановкой f = .

5. Доказать изоморфизм групп и <7Z, +>.

Вариант №2

1. Является ли группой <А = {a + b }, +>?

2. Образует ли подмножество H = {11k, kÎZ} подгруппу группы ?

3.Построить фактор-группу аддитивной группы 2Z по подгруппе 6Z?

4. Найти левое и правое разложение симметрической группы подстановок S3 по циклической подгруппе, порождённой подстановкой f = .

5. Доказать изоморфизм групп и <5Z, +>.
Семестровое задание по алгебре для студентов II курса математиков (3 семестр )

Тема1: “Элементы теории групп”


  1. Являются ли следующие операции бинарными алгебраическими на множестве A ?

a) × , A = R \ Q, b) x* y =(xy)2, A = N, c) xo y = r, где r остаток от деления ) x+ y на 6, A = Z.

  1. Какими свойствами обладают следующие бинарные алгебраические операции ?

a) x* y =(x + y)2, A = N, b) xo y = , b) x* y = , A = Q.

  1. Являются ли группами следующие алгебры:

a) {z | zÎ C, | z| =1} относительно операции умножения в С,

b) {a+b, где a , bÎ Q} относительно операции сложения?

  1. С помощью таблицы Кели определить, являются ли данные конечные множества группами

относительно заданных операций. Если являются, то найти единицу, обратные к каждому элементу, порядки элементов и выяснить будет ли группа циклической, коммутативной, какие элементы являются её образующими?

a){= cos + i sin , где kÎ {0,1,2}} относительно умножения комплексных чисел.

b) { e = } относительно умножения подстановок?

  1. Проверить, является ли H подгруппой группы A, будет ли она циклической? Если да, каков порядок порождающего элемента?

    1. A = 3Z, H =9Z относительно сложения целых чисел,

    2. A=S3, H = { e = } относительно умножения подстановок.

  1. Найти циклическую подгруппу группы A относительно заданной операции, порождён­ную элементом b.

a) A = Z, b = 4, (операция сложения) b) A=S3, b = (операция умножения).

  1. Найти левостороннее и правостороннее разложения на смежные классы группы A по

подгруппе H и проверить является ли H нормальной подгруппой.

a) A= GL(2,R), H= {A Î GL(2,R) | det (A) = 1}

b) A=S3, H = { e = }

  1. Построить фактор- группы:

a) 3Z / 9Z, b) S3 / H, где H = { e = }.

  1. Доказать изоморфизм групп:

a) <Z, +> и < 5Z, +>;

b) 1 = ,×>; 2 = {a + b| a,bÎ Q, a2 + b2>0},×>.
Тема2: “Линейные операторы”

1. Какие из следующих преобразований арифметического векторного пространства R3 являются

линейными ? В случае линейности найти матрицу данного линейного оператора относитель­но стандартного базиса.

а) = (x1+ x2+ x3 , x1+ x2, x3)

б) = (x1+ 1 , x2+ 2, x3 + 3)

в) = (x1 , x1× x2, , x1× x2× x3)

2. Найдите матрицу линейного оператора, переводящего векторы a1, a2 соответственно в

векторы b1,b2, относительно стандартного базиса (1) e1=(1,0), e2=(0,1), если

a1 = (1,1), b1 = (1,2),

a2 = (0,1), b2 = (2,1).

3. Укажите какой-либо базис ядра и базис образа линейных операторов пространства R3:

а) = (x1+ x2 , x1+ x2, x3)

б) = (x1 , x1,0)

  1. Линейный оператор j имеет матрицу= относительно базиса (1) a1 =(1,2); a2 =(3,7).

Линейный оператор q имеет матрицу =относительно базиса (2) b1=(1,1),b2 = (0,1).

Найдите матрицу оператора относительно базиса (1)(a1,a2).



  1. Покажите, что оператор дифференцирования является линейным оператором пространства многочленов степени, не превосходящей n от одной переменной с действительными коэф­фициентами. Найдите матрицу этого оператора относительно базиса (1, x, x2,…, xn).

  2. Пусть линейный оператор в пространстве Т2 = {f(x) = a0+a1x+ a2x2| a0, a1, a2Î R} имеет в базисе (1)(1, x, x2) матрицу . Найти его матрицу в базисе:

(2) (3x2+x+1, x2+3x+2, 2x2+x+3).

  1. В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован базис, состоящий из матриц:

  1. Е1 = , E2 = , Е3 = , E4 = .

Запишите в базисе (1) матрицу оператора транспонирования. Как изменится эта матрица, если в базисе поменять местами E2 и E3.

  1. Составьте характеристическое уравнение и найдите собственные значения и собственные векторы оператора ортогонального проектирования на ось OX пространства геометрических векторов плоскости, выходящих из начала координат O .

  2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора j: R3® R3, если

= (x1, 2x2,3 x3).

К.п.н., доцент __________________ Е.В. Евсюкова


Похожие:

Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа по теме «Матрицы и детерминанты»
Значение детерминанта этой матрицы, пользуясь теоремой Лапласа или следствием из неё
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconРешение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса. Ранг матрицы. Теорема Кронекера Капели
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения. Достаточные условия приводимости матрицы линейного оператора к диагональному...
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа №1 по теме «Натуральные числа и шкалы». Контрольная работа №2 по теме: «Сложение и вычитание натуральных чисел»
Контрольная работа №9 по теме: «Десятичные дроби. Сравнение, сложение и вычитание десятичных дробей»
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconDf. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df
Вопрос Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные...
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа №1 по теме «Электрический ток в различных средах» Контрольная работа №2 по теме «Магнитное поле тока»

Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКурсовая работа по апсу нечетные
Определить матрицы управляемости ct и наблюдаемости ob для sys, используя, операторы ctrb и obsv
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа по теме «Суждение и умозаключение». 1 заполни схему
Контрольная работа по теме Суждение и умо
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа по теме «Источники права Древнего мира и Средних веков»
Контрольная работа выполняется письменно во время самостоятельной внеаудиторной работы
Контрольная работа №1 по теме: «Линейные операторы и их матрицы» iconКонтрольная работа по теме «Производная функции одной переменной»
Данная контрольная работа должна позволить и студенту, и преподавателю оценить уровень усвоения указанной темы. Работа рассчитана...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org