2. Поверхности второго порядка



Скачать 141.06 Kb.
страница1/3
Дата09.07.2014
Размер141.06 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3
Тема 2. Поверхности второго порядка.

§1. Цилиндрические и конические поверхности.

Определение. Конической поверхностью (конусом) с вершиной в точке называется поверхность, которая с каждой своей точкой М содержит всю прямую .

Коническую поверхность будем получать следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию и точку , . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку и всеми прямыми, каждая и которых проходит через точку и пересекает линию , является конической поверхностью. Линия называется направляющей, прямые – образующими.

Задачи.

  1. Составить уравнение конуса вершина которого находится в точке и направляющая задана уравнениями (АСК).

Решение. Заметим, что направляющая конуса задана как пересечение двух множеств: поверхности и плоскости . Пусть произвольная точка , то есть прямая должна пересекать направляющую . Тогда , то есть прямолинейная образующая конической поверхности К пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности (нарисуйте картинку). Запишем эти условия в виде уравнений.


Параметрические уравнения прямой . Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью .

. Найденные координаты должны удовлетворять уравнению поверхности . Получим




. Переобозначив переменные, получим

. Это уравнение искомой конической поверхности. 

  1. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат О, его образующие наклонены под углом к оси . Составить уравнение конуса (ПДСК).

Решение. Пусть . Это уравнение искомой конической поверхности. 
Определение. Поверхность, содержащая с каждой своей точкой всю прямую, проходящую через эту точку параллельно некоторому фиксированному вектору , называется цилиндрической поверхностью или цилиндром.

Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть - некоторая линия, а - ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору , будет цилиндрической. Линия называется направляющей, прямые – образующими.

  1. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны прямой , а направляющая задана уравнениями (АСК).

Решение. Заметим, что направляющая цилиндра задана как пересечение двух множеств: поверхности и плоскости . Образующие цилиндра параллельны вектору . Пусть Ц . Проведем прямую параллельно вектору через точку М. Эта прямая должна пересекать направляющую цилиндра, то есть , где , то есть прямая , проходящая через точку М параллельно вектору пересекает плоскость в точке, принадлежащей поверхности . Запишем эти условия в виде уравнений.

Параметрические уравнения прямой : . Пересечем эту прямую с плоскостью и найдем координаты точки пересечения: . Координаты этой точки удовлетворяют уравнению поверхности , то есть

. Переобозначив переменные, получим уравнение искомой цилиндрической поверхности: . 

  1. Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через точку А(1,-1,1), если его осью служит прямая (ПДСК).

Решение. Пусть Ц . Вычислим , где . Тогда .

Аналогично находим . Итак, получим . Это уравнение искомой цилиндрической поверхности. 

  1. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат. Точка А(1,1,1) лежит на его поверхности. Составить уравнение конуса (ПДСК).

Решение. Пусть . Это уравнение искомой конической поверхности. 

Задачи к проверочной работе.

  1. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат. Точка А(3,-4,7) лежит на его поверхности. Составить уравнение конуса (ПДСК).

  2. Ось - ось кругового конуса с вершиной в начале координат, его образующие наклонены под углом к оси . Составить уравнение конуса (ПДСК).

  3. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору , а направляющая задана уравнениями (АСК).

  4. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке А(3,-1,-2) и направляющая задана уравнениями .

  5. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями и образующая которого перпендикулярна плоскости направляющей.

  6. Составить уравнение кругового цилиндра, проходящего через точку , если его осью служит прямая (ПДСК).

  7. Составить уравнение конуса с вершиной (0,0,3), направляющая которого задана уравнениями (ПДСК).

  8. Составить уравнения цилиндра, если его направляющая имеет уравнения , а образующая параллельна вектору (АСК).

  9. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0,0,0), направляющая которого задана уравнениями (АСК).

  10. Составить уравнение цилиндра, если направляющая имеет уравнения , а образующая параллельна прямой (ПДСК).

  11. Прямая - ось кругового конуса, вершина которого лежит в плоскости . Составить уравнения конуса, зная, что точка принадлежит его поверхности (ПДСК).

  12. Составить уравнение цилиндра, если направляющая имеет уравнения и образующая параллельна оси (ПДСК).

  13. Составить уравнение цилиндра, если его направляющая имеет уравнения и образующая перпендикулярна плоскости направляющей (ПДСК).

  14. Составить уравнение круговой конической поверхности, если заданы ось уравнениями и две симметричные относительно оси точки , , принадлежащие ей (ПДСК).

  15. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны плоскости , описан около сферы . Составить его уравнение (ПДСК).

  16. Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если уравнение ее оси и точка принадлежит этой поверхности (ПДСК).

  17. Написать уравнение круговой цилиндрической поверхности, если уравнение ее оси и точка принадлежит этой поверхности (ПДСК).

  18. Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если ось задана уравнениями и координаты ее точки (ПДСК).

  19. Направляющая конической поверхности имеет уравнения , вершина – в начале координат. Составить уравнение конической поверхности (ПДСК).

20*. Написать уравнение цилиндрической поверхности вращения, зная уравнения трех ее образующих , , (ПДСК).

21*. Написать уравнение кругового конуса, если ост координат являются его прямолинейными образующими, ось лежит в 1 и 7 октантах (АСК).

22*. Написать уравнение конуса, описанного около сфер и (ПДСК).
  1   2   3

Похожие:

2. Поверхности второго порядка iconПоверхности второго порядка
...
2. Поверхности второго порядка iconЛитература для самообразования уэ самоконтроль и коррекция усвоения темы «Поверхности второго порядка, заданные общим уравнением»
«Поверхности второго порядка, заданные общим уравнением» на практических занятиях
2. Поверхности второго порядка iconКривые второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка Определение
Определение Кривой второго порядка называется множество точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют следующему общему...
2. Поверхности второго порядка iconПоверхности второго порядка
Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой- либо фиксированной...
2. Поверхности второго порядка iconКривые второго порядка Кривая второго порядка
Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
2. Поверхности второго порядка icon11. Алгебраические линии и поверхности второго порядка, канонические уравнения, классификация
Являются инвариантами линий 2-го порядка относительно преобразований декартовой системы координат
2. Поверхности второго порядка icon«кривые второго порядка»
Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + f = 0 описывают конические сечения или кривые второго...
2. Поверхности второго порядка icon§5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям; поверхности второго порядка
Перед тем как начать изучение пространственных геометрических образов, соответствующим уравнениям 2-й степени, рассмотрим один специальный...
2. Поверхности второго порядка icon§ 46. Поверхности второго порядка
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением
2. Поверхности второго порядка iconИспользование линейных операторов для приведения кривой второго порядка к каноническому виду
Вопрос о кривых второго порядка встаёт, когда мы на плоскости рассматриваем некоторое геометрическое место точек, задаваемое уравнением...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org