Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи)



Скачать 50.38 Kb.
Дата09.07.2014
Размер50.38 Kb.
ТипУрок
УРОК № 4
Тема 1 ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИКИ
Вопросы:

1. Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи).

2. Множество комплексных чисел С.

3. Формулы сокращенного умножения.

4. Бином Ньютона, треугольник Паскаля для вычисления биноминальных коэффициентов.
Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных чисел мы производим измерения в пространстве и во времени. Физические, химические и прочие величины измеряются при помощи действительных чисел.

С этой точки зрения множество действительных чисел вполне достаточно и не видно причин для попыток расширить это множество.

Но следует иметь в виду и вторую сторону процесса развития и изучения числовых множеств. Всякий раз, расширяя числовое множество, появляется возможность более полно и успешно совершить те или иные операции.

Так, например, во множестве натуральных чисел не всегда можно выполнить действия вычитания и деления.

Расширив это множество до множества целых чисел , получаем возможность выполнить вычитание.

Дальнейшее расширение до множества рациональных чисел позволяет кроме вычитания осуществлять и деление (исключая деление на нуль).

И, наконец, построение более обширного множества действительных чисел дает возможность получить приближенное значение корня и т.д.

Однако операция извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных.

Во множестве действительных чисел не имеют решения простейшие квадратные уравнения, например, . Математики пришли к необходимости расширения множества действительных чисел путем присоединения к нему числа (которое назвали «мнимой единицей»), такого, чтобы , и чтобы в новом множестве можно было всегда извлечь квадратный корень. Новое множество назвали множеством комплексных чисел.

С включением пришлось ввести числа вида , где gif" name="object11" align=absmiddle width=43 height=18>и , где .

Получившиеся при этом числа были названы комплексными, так как содержали как действительную часть , так и чисто мнимую часть .

Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел , записанную в форме , где - новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем .

Первая компонента комплексного числа , действительное число , называется действительной частью числа , это обозначается так: ; вторая компонента, действительное число , называется мнимой частью числа : .

Запись называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: .

Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".

Геометрически комплексное число изображается как точка с координатами на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Формулы сокращённого умножения:
Для всех целых неотрицательных чисел , функция , называется биномиальным коэффициентом. Читается: С из n по k (или n над k).
Пример.
Число сочетаний из элементов по : .

Число сочетаний из элементов по : .

Число сочетаний из элементов по : .

Число сочетаний из элементов по : .

Число сочетаний из элементов по : .

Число сочетаний из элементов по : .
Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:


Треугольник Паскаля - это просто бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.
Свойства треугольника Паскаля

Свойства строк

1. Сумма чисел - ой строки равна (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна ),

2. Все строки симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).
Нахождение элемента треугольника

Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить способами:

1. Оно равно , где - номер строки, - номер элемента в строке,

2. Опишем алгоритм построения данного треугольника. Каждая строка треугольника соответствует конкретной степени многочлена, значения в строке соответствуют коэффициентам в разложении. Треугольник строится сверху вниз, т.е. от многочлена нулевой степени, каждый раз увеличивая степень на единицу. Стрелками показано какие операции выполняются, т.е. сносятся каждые числа и складываются соседние.


Очевидно, что .
Треугольник Паскаля основывается на следующем рекуррентном соотношении: .
Равенство (для всех действительных чисел , и для всех натуральных чисел )

называется формулой бинома Ньютона.

Примечание. Биноминальные коэффициенты формулы бинома Ньютона составляют в треугольнике Паскаля строку с номером .
Пример. Так, если , то .

Биноминальные коэффициенты составляют в треугольнике Паскаля строку с номером .
Пример. Так, если , то . Биноминальные коэффициенты составляют в треугольнике Паскаля строку с номером .
Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.



Напомним, что при вычислениях принимается равным 1.
Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.
Пример. В разложении найти члены, содержащие , если , , ,.

По фомуле бинома Ньютона имеем:

C учетом числовых значений:
В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициенты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий .

Найдем число , соответствующее этому члену:
Находим:

Похожие:

Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconКоплексные числа. Алгебраическая форма записи комплексного числа
При каких значениях вещественных параметров х и у числа и являются сопряженными?
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconИсследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. Общая схема исследования функции и построения ее графика
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая...
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconВопросы к экзамену по высшей математике (1 курс, 1 семестр)
Алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconТематический план практических занятий по дисциплине «Математический анализ»
Тем Комплексные числа и действия над ними. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная...
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconВопросы по курсу «Математика»
Алгебраическая форма комплексного числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconВопросы к экзамену по дисциплине «Геометрия и алгебра»
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconПрограмма экзамена по высшей математике спец. «Радиотехника»
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconЭкзаменационные вопросы Целые, рациональные, действительные числа. Числовые множества, операции над множествами
Комплексные числа: модуль и аргумент комплексного числа; алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа;...
Урок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи) iconВопросы к экзаменам
Комплексная плоскость (Понятие комплексного числа, его формы записи, геометрическая интерпретация)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org