Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей



Скачать 228.74 Kb.
страница1/4
Дата09.07.2014
Размер228.74 Kb.
ТипМетодические указания
  1   2   3   4
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет

Дополнительные главы математики: теория функций комплексной переменной, операционное исчисление, уравнения в частных производных
Методические указания

к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов

по курсу математики

для студентов всех специальностей

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2010

Теория функций комплексной переменной
1. Аналитические функции комплексной переменной.
Определение 1. Окрестностью точки комплексной плоскости называется круг произвольного радиуса с центром в , взятый без ограничивающей этот круг окружности.

Учитывая, что расстояние между любыми точками и на комплексной плоскости равно , а также тот факт, что упомянутый круг D есть множество точек , удаленных от на расстояние меньшее, чем , мы можем аналитически задать его в виде .

Определение 2. Множество точек D комплексной плоскости С называется областью, если выполнены два условия:

1) D – открытое множество, т.е. всякая точка входит в него вместе с некоторой своей окрестностью;

2) D – связное множество, т.е. любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в D.

Примерами часто встречающихся в теории аналитических функций областей могут служить:

1) вся комплексная плоскость С;

2) открытый круг D = с центром в точке a С радиуса R > 0; 3) кольцо gif" name="object13" align=absmiddle width=160 height=21> с центром в точке a С, ограниченное окружностями радиусов , где

Определение 3. Говорят, что в области D С определена функция комплексной переменной , если каждому по некоторому правилу поставлено в соответствие единственное число или несколько таких чисел. В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной.

Пусть Тогда зависимость между аргументом и комплексной функцией можно задать с помощью двух действительных функций и от двух действительных переменных и :



Например, функция может быть представлена в виде , где


Определение 4. Пусть функция определена в области D комплексной плоскости и пусть точки и принадлежат D. Функция называется дифференцируемой (моногенной) в точке , если существует конечный предел

,

причем величина этого предела не зависит от формы пути, вдоль которого приращение стремится к нулю. Этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом или .

Определение 5. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в самой этой точке, а также в некоторой ее окрестности. Функция, аналитическая в каждой точке некоторой области D называется аналитической в области D.

Отметим, что определения производной для функций действительной и комплексной переменной формально выглядят одинаково. Однако требование независимости величины предела от способа стремления к нулю приращения в комплексном случае является очень жестким и приводит к важным отличиям от случая действительной переменной. В частности, из аналитичности функции следует существование у нее ее производных любого порядка.

Определение 6. Производной от комплексной функции действительного аргумента где действительные функции и дифференцируемы на (в точках и под дифференцируемостью понимают наличие односторонних производных), называется функция

Теорема 1. Для дифференцируемости функции , в точке необходимым и достаточным условием является одновременное выполнение двух требований:

1) функции и дифференцируемы как функции двух действительных переменных;

2) функции и в точке удовлетворяют так называемым условиям Коши-Римана:



С помощью этой теоремы можно установить, в частности, является ли данная функция аналитической в какой-либо области или нет. Например, нетрудно убедиться, что рассмотренная нами ранее функция является аналитической во всей плоскости. Действительно, вычисляя соответствующие частные производные





непосредственно убеждаемся, что условия Коши-Римана выполнены во всех точках плоскости. Кроме того, эти частные производные являются многочленами от переменных и потому непрерывны всюду. Как известно из курса математического анализа, непрерывность частных производных функции двух переменных влечет за собой ее дифференцируемость. Таким образом, функции дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши-Римана. Поэтому на основании теоремы 1 заключаем, что функция является аналитической во всей комплексной плоскости.

Еще одно применение теоремы 1 связано с восстановлением аналитической функции , если известна только ее действительная или только мнимая часть.

Пример 1. Восстановить аналитическую функцию по заданной мнимой части

Решение. Сразу отметим, что в условиях задачи восстановление возможно только с точностью до постоянного слагаемого. В силу первого условия Коши-Римана имеем



откуда интегрированием по находим функцию



Здесь произвольная дифференцируемая функция аргумента . Подберем ее так, чтобы наша функция удовлетворяла также и второму условию Коши-Римана . Находим



то есть Отсюда так что и . Если теперь учесть, что



то окончательно получим, что искомая аналитическая функция имеет вид



где - произвольная действительная постоянная.
2. Интеграл от функции комплексной переменной.
Определение 7. Говорят, что на комплексной плоскости задана непрерывная кривая , если задано непрерывное отображение отрезка в комплексную плоскость C, т. е. если на определена непрерывная комплексная функция действительного аргумента .

Переменная называется параметром, значения функции – точками кривой , а совокупность всех значений функции – множеством точек (траекторией) этой кривой. Кривая называется замкнутой, если Замкнутую кривую часто называют контуром.

Таким образом, кривая – это геометрическое место точек на комплексной плоскости с указанным направлением обхода, соответствующим возрастанию параметра (точнее, множество точек и закон, по которому каждая такая точка сопоставляется значению параметра ). Например, функция задает единичную окружность, проходимую один раз против часовой стрелки, если параметр возрастает от 0 до .

Определение 8. Кривая называется гладкой, если функции и непрерывно дифференцируемы на (т.е. если и существуют и непрерывны в каждой точке интервала и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и ), причем производные и одновременно не обращаются в ноль в точках этого отрезка. Кривая называется кусочно-гладкой, если ее можно представить в виде объединения конечного числа гладких кривых, попарно пересекающихся не более, чем в одной точке.

Примерами гладких кривых служат окружность, эллипс, прямая, а также графики всех простейших элементарных функций. Примеры кусочно-гладких кривых – ломаная, любой многоугольник, граница сегмента, сектора.
  1   2   3   4

Похожие:

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей
Методические указания предназначены для проведения практических занятий и организации самостоятельной работы студентов с целью выработки...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания к практическим занятиям для студентов нефилологических специальностей Хабаровск Издательство тогу 2009
Изучаем риторику : методические указания к практическим занятиям для студентов нефилологических специальностей / сост. Е. В. Пучкова,...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания к самостоятельной работе студентов 1-го курса всех специальностей, изучающих химию
Д. И. Менделеева. Прогнозирование свойств элементов и их соединений : методические указания к самостоятельной работе студентов 1-го...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconТулеева Жанна Исламбековна Шин Владимир Герасимович «шрифт» методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 5В042100 «Дизайн» Форма обучения: очное Шымкент 2010 г. Удк 75. 023. 21
Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Шрифт» для студентов специальностей Шымкент: юкгу им. М. Ауезова. 2010...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания к лабораторным занятиям для студентов всех специальностей Казань 2011 удк 691.(076. 5)
Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов всех специальностей
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания к лабораторным занятиям для студентов всех специальностей Казань 2012
Природные каменные строительные материалы: методические указания к лабораторным занятиям для студентов всех специальностей. (Казанская...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания по курсу «Философия» для студентов всех форм обучения всех специальностей Екатеринбург 2010
Название: Аксиология и ее место в структуре философского знания: Методические указания по курсу «Философия» для студентов всех форм...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания по подготовке к семинарским занятиям для студентов дневной формы обучения всех специальностей
Методические указания предназначены для студентов I курса всех специальностей дневной формы обучения, изучающих дисциплину «Отечественная...
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconБ. И. Джинджолия восточная философия xix–xx веков
Методические указания к самостоятельной работе с философскими текстами для студентов всех форм обучения всех специальностей
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов по курсу математики для студентов всех специальностей iconМетодические указания по работе с практическим курсом французского языка предназначаются для студентов I курса всех специальностей очной и заочной форм обучения в средних специальных учебных заведениях, на курсах и самостоятельно
Предлагаемые методические указания по работе с практическим курсом французского языка предназначаются для студентов I курса всех...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org