Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств»



Скачать 42.29 Kb.
Дата09.07.2014
Размер42.29 Kb.
ТипПрограмма спецкурса
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств».

Для сдачи спецкурса нужно решить любые 7 упражнений, которые давались на лекциях, знать определения и формулировки теорем и понимать их доказательство (при ответе можно пользоваться конспектом).


  1. Теорема об отделимости в полинормированном пространстве. Характеризация множества функционалов на сопряженном пространстве, непрерывных относительно *-слабой топологии. Теорема Мазура о слабой замкнутости выпуклых замкнутых множеств в банаховом пространстве [1]. Теорема Тихонова о компактности произведения [6]. Теорема Банаха – Алаоглу о *-слабой компактности единичного шара в сопряженном пространстве [1]. Теорема Голдстайна о *-слабом замыкании единичного шара BX во втором сопряженном пространстве [1].

  2. Теорема Эберлейна – Шмульяна об эквивалентности слабой компактности и секвенциальной слабой компактности [1].

  3. Рефлексивные пространства [1]. Критерии рефлексивности банахова пространства в терминах слабой компактности единичного шара и рефлексивности сопряженного пространства [1]. «Свойство трех пространств» (из рефлексивности подпространства и фактор-пространства по нему следует рефлексивность всего пространства; доказательство приводится в [1] как упражение, в лекциях дано полное доказательство).

  4. Критерий Джеймса рефлексивности банаховых пространств (доказательство – для сепарабельных пространств) [1].

  5. Принцип Экланда. Теорема Бишопа – Фелпса [1]. Пример Фелпса неполного нормированного пространства, в котором множество функционалов, достигающих нормы, неплотно [2].




  1. Субдифференциал выпуклой функции, критерий дифференцируемости по Гато в терминах субдифференциала. Субдифференциал нормы. Критерии дифференцируемости нормы по Гато (лемма Шмульяна) [1].

  2. Теорема Кадеца о дифференцируемости нормы по Гато [8]. Строгая выпуклость нормы. Теорема о существовании эквивалентной нормы на сепарабельном пространстве, всюду дифференцируемой по Гато. Теорема Мазура о множестве точек дифференцируемости по Гато нормы на сепарабельном пространстве [1].

  3. Дифференцируемость нормы по Фреше. Лемма Шмульяна. Следствие: рефлексивность пространства с дифференцируемой по Фреше сопряженной нормой [1].

  4. Локально равномерно выпуклые нормы. Критерий существования эквивалентной нормы на сепарабельном пространстве, всюду дифференцируемой по Фреше [1].

  5. Bump-функции. Необходимое условие существования дифференцируемой по Гато bump-функции. Критерий существования дифференцируемой по Фреше bump-функции на сепарабельном банаховом пространстве [5].

  6. Крайние, выступающие и сильно выступающие точки. Теоремы Крейна – Мильмана и Линденштраусса – Троянского. Теорема Мазура – Фелпса о представлении выпуклого замкнутого ограниченного множества в виде пересечения шаров [1].


  7. Пространства со свойством Радона-Никодима [3]. Острые множества. Характеризация пространств со свойством Радона-Никодима в терминах острых множеств (без доказательства). Пространства со свойством Крейна-Мильмана. Теорема Линденштраусса. Теоремы Фелпса о сильно выставленных точках и Хаффа-Морриса-Стегалла о сопряженном пространстве со свойством Радона-Никодима (без доказательства).

  8. Пространства со свойством Бишопа — Фелпса. Теорема Бургейна [4].

  9. Равномерно выпуклые и равномерно гладкие пространства. Модули выпуклости и гладкости и связь между ними [1]. Оценка модуля выпуклости пространств Lp [3]. Теорема Дэя – Нордлендера [3], [10].

  10. Конечная представимость. Теорема Дворецкого (без доказательства). Суперрефлексивные банаховы пространства. (n, )-деревья в банаховых пространствах. Критерий суперрефлексивности в терминах эквивалентных норм (теорема Джеймса-Энфло). [1]

  11. Теорема Линденштраусса — Цафрири о дополняемых подпространствах [11].

  12. Теорема Банаха – Мазура об изометрическом вложении сепарабельного пространства в C[0, 1]. [1]

  13. Неравенство Хинчина. Теорема о существовании подпространства в Lp[0, 1], изоморфного l2. Метод разложения Пелчинского. Изоморфизм пространства Lp[0, 1] и его прямой суммы с l2 [1], [9].

  14. Базисы Шаудера. Канонические проекторы. Примеры пространств с базисом. Теорема Банаха о равномерной ограниченности канонических проекторов [1], [9].

  15. Базисные последовательности. Теорема Крейна – Мильмана – Рутмана [1], [9].

  16. Блочные базисные последовательности. Теорема Пелчинского о подпространстве с базисом, эквивалентным блочной базисной последовательности. Принцип выбора Бессага-Пелчинского. Существование базисной последовательности в любом банаховом пространстве [1], [9].

  17. Теорема Пелчинского о дополняемых подпространствах c0 и lp. Теорема Питта. Теорема об отсутствии изоморфизма между бесконечномерными подпространствами в lp и lq при pq. Отсутствие изоморфизма между lp и Lp[0, 1] при p2 [1], [9].

  18. Теорема Акилова. Теорема Пелчинского об изоморфизме между l и L[0, 1] [1].

  19. Стягивающие базасы. Теорема об изоморфизме второго сопряженного пространства и пространства последовательностей. Пространство Джеймса [1].

  20. Свойство аппроксимации. Теорема Гротендика. Теорема Энфло – Дэйви о существовании пространства, не имеющего свойства аппроксимации [9].

  21. p-абсолютно суммирующие операторы. Теорема Пича о факторизации. Абсолютно и безусловно сходящиеся ряды. Теорема Дворецкого-Роджерса о существовании рядов в бесконечномерном банаховом пространстве, сходящихся безусловно, но не абсолютно. p-абсолютно суммирующие операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве. Константа Гротендика. Абсолютная суммируемость операторов из l1 в l2 и 2-абсолютная суммируемость операторов из c0 в lp, p2 [9].

  22. Типы и котипы банаховых пространств: неравенство Кахана, тип пространств Lp [12].

  23. Теорема Линденштраусса – Пелчинского [13]. Теорема Квапьена [14].


Список литературы:

[1] M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, Vicente Montesinos Santalucia, J. Pelant, Vaclav Zizler. Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry. Springer-Verlag, N.Y., 2001.

[2] R.R. Phelps, Subreflexive normed linear spaces. // Arch. Math., Vol. 8, № 6 (1957), pp. 444-450.

[3] J. Diestel, Geometry of Banach Spaces — Selected Topics. Lecture Notes in Mathematics, vol. 485.

[4] J. Bourgain, On dentability and the Bishop — Phelps property. // Israel J. Math., vol. 28 (1977), pp. 265-271.

[5] R. Fry, S. McManus, Smooth Bump Functions and the Geometry of Banach Spaces. A Brief Survey. // Expositiones Mathematicae. 20 (2002), p. 143-183.

[6] А.Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу. МЦНМО, 2004.

[7] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Classical Banach spaces I. Sequence spaces. Springer-Verlag, N.Y., 1977.

[8] М.И. Кадец, Условия дифференцируемости нормы банахова пространства. УМН, !965, т. 20 вып. 3, стр. 183-187.

[9] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Classical Banach spaces I. Sequence spaces. Springer-Verlag, 1977.

[10] M.M. Day, Uniform convexity in factor and conjugate spaces. // Ann. Math. 45 (1944), pp. 375-385.

[11] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. // Israel J. Math. 9 (1971), pp. 263-269.

[12] V.D. Milman, G. Schechtman, Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. Lecture Notes in Mathematics, 1200.

[13] J. Lindenstrauss, A. Pelzynski, Absolutely summing operators in Lp spaces and their applications. // Studia Math., 29 (1968), 275 – 326.

[14] S. Kwapien, Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with vector valued coefficients. // Studia Math., 44 (1972), 583 – 595.

Похожие:

Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПрограмма дисциплины «Введение в симплектическую геометрию»
Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю. М. Бурман; гу-вшэ.–Москва.–2008.–6 с
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconЛекция №19 Банаховы алгебры
Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПрограмма спецкурса "Древнерусская книжность и духовная культура"
Тема Введение в проблематику спецкурса. Общие замечания о древнерусской письменности. Книга как феномен средневековой культуры
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПрограмма спецкурса продолжительность спецкурса 40 часов
Цель спецкурса углубить знания и практические навыки слушателей в области методики финансового анализа и ее применения в финансовом...
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПрограмма спецкурса «Математические основы информатик и»
Рабочая программа спецкурса «Математические основы информатики» для 8-9 классов разработана на основе примерной программа основного...
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПрограмма курса «Введение в геометрию»
Практические задания, связанные с измерением площадей и объемов, формируют у учащихся представление о прикладных возможностях математики....
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconПояснительная записка. Программа элективного спецкурса «Электричество»
Программа элективного спецкурса «Электричество» предназначена для учащихся 9 классов
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconРабочая программа спецкурса «Актуальные проблемы современного словообразования»
Целью спецкурса является выработка у студентов умения анализа языкового материала в аспекте познания мира через язык
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconУроках математики мы изучали тему «Введение в геометрию»
Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников
Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств» iconВведение в топологическую теорию меры
Теорема Хэдона о совпадении класса пространств Дугунджи с классом ае(0)-бикомпактов
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org