Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств»

Скачать 42.29 Kb.

Дата	09.07.2014
Размер	42.29 Kb.
Тип	Программа спецкурса

Программа спецкурса «Введение в геометрию банаховых пространств».

Для сдачи спецкурса нужно решить любые 7 упражнений, которые давались на лекциях, знать определения и формулировки теорем и понимать их доказательство (при ответе можно пользоваться конспектом).

Теорема об отделимости в полинормированном пространстве. Характеризация множества функционалов на сопряженном пространстве, непрерывных относительно *-слабой топологии. Теорема Мазура о слабой замкнутости выпуклых замкнутых множеств в банаховом пространстве [1]. Теорема Тихонова о компактности произведения [6]. Теорема Банаха – Алаоглу о *-слабой компактности единичного шара в сопряженном пространстве [1]. Теорема Голдстайна о *-слабом замыкании единичного шара B_X во втором сопряженном пространстве [1].
Теорема Эберлейна – Шмульяна об эквивалентности слабой компактности и секвенциальной слабой компактности [1].
Рефлексивные пространства [1]. Критерии рефлексивности банахова пространства в терминах слабой компактности единичного шара и рефлексивности сопряженного пространства [1]. «Свойство трех пространств» (из рефлексивности подпространства и фактор-пространства по нему следует рефлексивность всего пространства; доказательство приводится в [1] как упражение, в лекциях дано полное доказательство).
Критерий Джеймса рефлексивности банаховых пространств (доказательство – для сепарабельных пространств) [1].
Принцип Экланда. Теорема Бишопа – Фелпса [1]. Пример Фелпса неполного нормированного пространства, в котором множество функционалов, достигающих нормы, неплотно [2].

Субдифференциал выпуклой функции, критерий дифференцируемости по Гато в терминах субдифференциала. Субдифференциал нормы. Критерии дифференцируемости нормы по Гато (лемма Шмульяна) [1].
Теорема Кадеца о дифференцируемости нормы по Гато [8]. Строгая выпуклость нормы. Теорема о существовании эквивалентной нормы на сепарабельном пространстве, всюду дифференцируемой по Гато. Теорема Мазура о множестве точек дифференцируемости по Гато нормы на сепарабельном пространстве [1].
Дифференцируемость нормы по Фреше. Лемма Шмульяна. Следствие: рефлексивность пространства с дифференцируемой по Фреше сопряженной нормой [1].
Локально равномерно выпуклые нормы. Критерий существования эквивалентной нормы на сепарабельном пространстве, всюду дифференцируемой по Фреше [1].
Bump-функции. Необходимое условие существования дифференцируемой по Гато bump-функции. Критерий существования дифференцируемой по Фреше bump-функции на сепарабельном банаховом пространстве [5].
Крайние, выступающие и сильно выступающие точки. Теоремы Крейна – Мильмана и Линденштраусса – Троянского. Теорема Мазура – Фелпса о представлении выпуклого замкнутого ограниченного множества в виде пересечения шаров [1].
Пространства со свойством Радона-Никодима [3]. Острые множества. Характеризация пространств со свойством Радона-Никодима в терминах острых множеств (без доказательства). Пространства со свойством Крейна-Мильмана. Теорема Линденштраусса. Теоремы Фелпса о сильно выставленных точках и Хаффа-Морриса-Стегалла о сопряженном пространстве со свойством Радона-Никодима (без доказательства).
Пространства со свойством Бишопа — Фелпса. Теорема Бургейна [4].
Равномерно выпуклые и равномерно гладкие пространства. Модули выпуклости и гладкости и связь между ними [1]. Оценка модуля выпуклости пространств L_p[3]. Теорема Дэя – Нордлендера [3], [10].
Конечная представимость. Теорема Дворецкого (без доказательства). Суперрефлексивные банаховы пространства. (n, )-деревья в банаховых пространствах. Критерий суперрефлексивности в терминах эквивалентных норм (теорема Джеймса-Энфло). [1]
Теорема Линденштраусса — Цафрири о дополняемых подпространствах [11].
Теорема Банаха – Мазура об изометрическом вложении сепарабельного пространства в C[0, 1]. [1]
Неравенство Хинчина. Теорема о существовании подпространства в L_p[0, 1], изоморфного l₂. Метод разложения Пелчинского. Изоморфизм пространства L_p[0, 1] и его прямой суммы с l₂ [1], [9].
Базисы Шаудера. Канонические проекторы. Примеры пространств с базисом. Теорема Банаха о равномерной ограниченности канонических проекторов [1], [9].
Базисные последовательности. Теорема Крейна – Мильмана – Рутмана [1], [9].
Блочные базисные последовательности. Теорема Пелчинского о подпространстве с базисом, эквивалентным блочной базисной последовательности. Принцип выбора Бессага-Пелчинского. Существование базисной последовательности в любом банаховом пространстве [1], [9].
Теорема Пелчинского о дополняемых подпространствах c₀ и l_p. Теорема Питта. Теорема об отсутствии изоморфизма между бесконечномерными подпространствами в l_p и l_q при pq. Отсутствие изоморфизма между l_p и L_p[0, 1] при p2 [1], [9].
Теорема Акилова. Теорема Пелчинского об изоморфизме между l_ и L_[0, 1] [1].
Стягивающие базасы. Теорема об изоморфизме второго сопряженного пространства и пространства последовательностей. Пространство Джеймса [1].
Свойство аппроксимации. Теорема Гротендика. Теорема Энфло – Дэйви о существовании пространства, не имеющего свойства аппроксимации [9].
p-абсолютно суммирующие операторы. Теорема Пича о факторизации. Абсолютно и безусловно сходящиеся ряды. Теорема Дворецкого-Роджерса о существовании рядов в бесконечномерном банаховом пространстве, сходящихся безусловно, но не абсолютно. p-абсолютно суммирующие операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве. Константа Гротендика. Абсолютная суммируемость операторов из l₁ в l₂ и 2-абсолютная суммируемость операторов из c₀ в l_p, p2 [9].
Типы и котипы банаховых пространств: неравенство Кахана, тип пространств L_p [12].
Теорема Линденштраусса – Пелчинского [13]. Теорема Квапьена [14].

Список литературы:

[1] M. Fabian, P. Habala, P. Hajek, Vicente Montesinos Santalucia, J. Pelant, Vaclav Zizler. Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry. Springer-Verlag, N.Y., 2001.

[2] R.R. Phelps, Subreflexive normed linear spaces. // Arch. Math., Vol. 8, № 6 (1957), pp. 444-450.

[3] J. Diestel, Geometry of Banach Spaces — Selected Topics. Lecture Notes in Mathematics, vol. 485.

[4] J. Bourgain, On dentability and the Bishop — Phelps property. // Israel J. Math., vol. 28 (1977), pp. 265-271.

[5] R. Fry, S. McManus, Smooth Bump Functions and the Geometry of Banach Spaces. A Brief Survey. // Expositiones Mathematicae. 20 (2002), p. 143-183.

[6] А.Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу. МЦНМО, 2004.

[7] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Classical Banach spaces I. Sequence spaces. Springer-Verlag, N.Y., 1977.

[8] М.И. Кадец, Условия дифференцируемости нормы банахова пространства. УМН, !965, т. 20 вып. 3, стр. 183-187.

[9] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Classical Banach spaces I. Sequence spaces. Springer-Verlag, 1977.

[10] M.M. Day, Uniform convexity in factor and conjugate spaces. // Ann. Math. 45 (1944), pp. 375-385.

[11] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. On the complemented subspaces problem. // Israel J. Math. 9 (1971), pp. 263-269.

[12] V.D. Milman, G. Schechtman, Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. Lecture Notes in Mathematics, 1200.

[13] J. Lindenstrauss, A. Pelzynski, Absolutely summing operators in L_p spaces and their applications. // Studia Math., 29 (1968), 275 – 326.

[14] S. Kwapien, Isomorphic characterizations of inner product spaces by orthogonal series with vector valued coefficients. // Studia Math., 44 (1972), 583 – 595.

Похожие:

	Программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» Рабочая программа дисциплины «Введение в симплектическую геометрию» [Текст]/Сост. Ю. М. Бурман; гу-вшэ.–Москва.–2008.–6 с		Лекция №19 Банаховы алгебры Ранее мы изучали линейные нормированные пространства. Был выделен важный класс – банаховы пространства. Эта лекция посвящена введению...
	Программа спецкурса "Древнерусская книжность и духовная культура" Тема Введение в проблематику спецкурса. Общие замечания о древнерусской письменности. Книга как феномен средневековой культуры		Программа спецкурса продолжительность спецкурса 40 часов Цель спецкурса углубить знания и практические навыки слушателей в области методики финансового анализа и ее применения в финансовом...
	Программа спецкурса «Математические основы информатик и» Рабочая программа спецкурса «Математические основы информатики» для 8-9 классов разработана на основе примерной программа основного...		Программа курса «Введение в геометрию» Практические задания, связанные с измерением площадей и объемов, формируют у учащихся представление о прикладных возможностях математики....
	Пояснительная записка. Программа элективного спецкурса «Электричество» Программа элективного спецкурса «Электричество» предназначена для учащихся 9 классов		Рабочая программа спецкурса «Актуальные проблемы современного словообразования» Целью спецкурса является выработка у студентов умения анализа языкового материала в аспекте познания мира через язык
	Уроках математики мы изучали тему «Введение в геометрию» Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников		Введение в топологическую теорию меры Теорема Хэдона о совпадении класса пространств Дугунджи с классом ае(0)-бикомпактов

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org