Симметрия вокруг нас



Скачать 420.01 Kb.
страница4/8
Дата09.07.2014
Размер420.01 Kb.
ТипЛитература
1   2   3   4   5   6   7   8

Симметрия в природе


Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается.

Материал на любом уровне своей организации, будь то минералы, растительный или животный мир, подчиняется строгим законам развития. Сегодня человек с помощью им же созданных точнейших приборов способен проникать в царство бесконечно малых величин, где перед ним раскрываются прекрасные формы.

В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Из прямого наблюдения мы можем вывести законы геометрии и почувствовать их несравненное совершенство. Этот порядок, являющийся закономерной необходимостью, поскольку ничто в природе не служит чисто декоративным целям, помогает нам найти общую гармонию, на которой зиждется все мировоздание.

Когда мы хотим нарисовать лист растения или бабочку, то нам приходится учитывать их осевую симметрию. Средняя жилка для листа и туловище для бабочки служит осью симметрии. Центральная
симметрия характерна для кристаллов, низших животных и цветов.

Мы видим, что природа проектирует любой живой организм
согласно определенной геометрической схеме, причем законы мироздания имеют четкое обоснование.

В своей книге «Этот правый, левый мир» М. Гарднер пишет:
«На Земле жизнь зародилась в сферических симметричных формах,
а потом стала развиваться по двум главным линиям: образовался
мир растений, обладающих симметрией конуса, и мир животных с
билатеральной симметрией».

Термин «билатеральная симметрия» часто применяется в биологии. При этом имеется в виду зеркальная симметрия.

Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на
примере фактически любого дерева.



Дерево при помощи корневой системы поглощает влагу и пита-
тельные вещества из почвы, то есть снизу, а остальные жизненно
важные функции выполняются кроной, т. е. наверху. В то же время направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для де-
рева фактически неразличимы; по всем этим направлениям к дере-
ву в равной мере поступает воздух, свет, влага.

Дерево имеет вертикальную поворотную ось (ось конуса) и
вертикальные плоскости симметрии.

Отметим, что вертикальная ориентация оси конуса, характеризующего симметрию дерева, определяется направлением силы тяжести.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы,
плоды.

Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и
у цветов.
Для цветов характерна поворотная симметрия..

jpg" name="рисунок 21" align=bottom width=460 height=173 border=0>

Часто поворотная симметрия сочетается с зеркальной или переносной.



В многообразном мире цветов встречаются поворотные оси
разных порядков. Однако наиболее распространена поворотная
симметрия 5-го порядка. Эта симметрия встречается у многих по-
левых цветов.(колокольчик, незабудка, герань, гвоздика, зверобой и лапчатка), у цветов плодовых деревьев (вишня, яблоня, груша,
мандарин и др.), у цветов плодово-ягодных растений (земляника,
малина, калина, черемуха, рябина, шиповник, боярышник) и др.

В природе существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е совмещением со своим первоначальным положением после
поворота на угол φ вокруг оси, дополнительным сдвигом вдоль той
же оси.

Если - рациональное число , то поворотная ось оказывается
также осью переноса.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на
стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю,
листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг
друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).

Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство со-
цветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой че-
шуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое
расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более
или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие
в различных направлениях.

Симметрии в мире насекомых, рыб, птиц, животных


Поворотная симметрия 5-го порядка встречается и в животном
мире. Примерами могут служить морская звезда и панцирь морского ежа.



Однако в отличие от мира растений поворотная симметрия в животном мире наблюдается редко.

Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями
«вперед» и «назад».

Направление движения является принципиально выделенным
направлением, относительно которого нет симметрии у любого на-
секомого, любой птицы или рыбы, любого животного. В этом на-
правлении животное устремляется за пищей, в этом же направлении оно спасается от преследователей.

Кроме направления движения симметрию живых существ определяет еще одно направление — направление силы тяжести. Оба
направления существенны, они задают плоскость симметрии животного существа.

Билатеральная (зеркальная) симметрия — характерная симметрия всех представителей животного мира.

Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и
правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.



Можно сказать, что каждое животное (а также насекомое, рыба,
птица) состоит из двух энантиоморфов — правой и левой половин.
Энантиоморфами являются также парные детали, одна из которых
попадает в правую, а другая в левую половину тела животного.
Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и ле-
вый глаз, правый и левый рог и т. д. Отметим, наконец билатеральную симметрию человеческого
тела (речь идет о внешнем облике и строении скелета). Эта сим-
метрия всегда являлась и является основным источником нашего
эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Симметрия в неживой природе



Еще более ярко и систематически симметричность структуры

материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

«Кристаллы блещут симметрией», — писал Е. С. Федоров в своем «Курсе кристаллографии».

При слове «кристалл» в воображении рисуется среди драгоценных камней — алмаз: кристальная чистота и прозрачность, чудес-
ная, непередаваемая игра света, идеальная правильная форма. Но
теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня
они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов.
Без них не мыслится современная металлообрабатывающая промышленность.

Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и
поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов.
Больше того, основная масса горных пород, образующих земную
кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов.

Словом, большинство строительных материалов — металлы, камень, песок, глина — кристаллические вещества. Можно сказать,
что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения.

Кристаллы — это твердые тела, имеющие естественную форму
многогранников.

Характерная особенность того или иного вещества состоит в
постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами
для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же
касается формы граней, то для одного и того же вещества они мо-
гут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая
только ему одному, идеальная форма его кристалла.

Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов.



Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии — видом (классом) симметрии.



Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так
называемой пространственной решетки, в одинаковых ячейках ко-
торой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам
симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы — мо-
лекулы, атомы, ионы или их группы.

Опираясь на эти представления, А В Гадолин в 1867 г. доказал,
что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла.
Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны при-
надлежать к одному из этих видов симметрии. Эти утверждения
представляет закон симметрии, один из законов кристаллографии.

Следующий фундаментальный результат был получен в 1890 г.
русским кристаллографом Е. С. Федоровым и одновременно немецким математиком А. Шенфлисом, доказавшими чисто геометрически, что существует 230 типов пространственных решеток.
В 1912 г. исследованиями кристаллов при помощи рентгеновских
лучей была установлена реальность кристаллической решетки.

Многие, если не все, кристаллы более или менее легко раскалываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны, т. е не одинаковы по
разным направлениям. Но кристаллы анизотропны и в отношении
многих других физических свойств. Свет, например, в определенных кристаллах распространяется по различным направлениям
с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по
различным направлениям различно. Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности и т.д.

Анизотропность физических свойств так же, как и сама правильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым
строением, т. е. в конечном счете, определяется симметрией их
структуры.

Каждая снежинка — это маленький кристалл замерзшей воды
Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией — поворотной симметрией 6-го порядка, и зеркальной симметрией.



Кроме симметрии в природе часто встречается зеркальная
асимметрия (ее также называют лево-правой асимметрией). Она
играет принципиально важную роль в живых организмах. Характерный пример зеркально-асимметричного объекта — винт или спираль.

М. Гарднер писал «В каждой живой клетке на Земле заложены
правые спирали нуклеиновой кислоты. Асимметричная спиральная
структура — несомненно, основа жизни».

Некоторые примеры природных винтов: бивень нарвала (левый
винт), раковина улитки (правый винт), рога памирского барана
энантиоморфы.

Присмотревшись к растениям, можно обнаружить многочисленные проявления винтовой симметрии в расположении листьев на
стебле, веток на стволе, в строении шишек, некоторых цветов и т д.

Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены
семечки в подсолнухах, спиральные движения наблюдаются при
росте корней и побегов.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на
целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя по-
верхность гладкая, наружная — рифленая. Внутри покоится моллюск. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины, и, таким образом, повышается ее прочность. Форма раковины поражает
своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на
ее создание.

У некоторых моллюсков количество частей, формирующих конические раковины,отвечает числам Фибоначчи.

Симметрия в искусстве, архитектуре, музыке, литературе.


Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. На этот счет хорошо высказался известный французский архитектор Ле Корбюзье, в своей книге «Архитектура XX века» он писал: «Человеку необходим порядок: без него все его действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Он делает умозрительные построения, основываясь на порядок, который продиктован ему потребностями его психики, - это творческий процесс. Творчество есть акт упорядочения».

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

Не говоря уже об архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, Средневековья и Возрождения.

Зеркальная симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

Композиция таких картин скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе в музыке. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. –круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды - в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой,и наоборот.

Так накладывается правая рука на левую (если их не переворачивать): мизинец оказывается на большом пальце. Безымянный на указательном.

«Душа музыки» - ритм - состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения», - писал в 1908 г. известный русский физик Г. В. Вульф, - Правильное же повторение - сущность симметрии».

Мы с тем большим правом можем приложить к музыкальному произведению понятие симметрии, что это произведение записывается при помощи нот, т. е. получаем пространственный геометрический образ.

Гамма до мажор.



Композитор в своем произведении может по несколько раз возвращаться к одной и той же теме, постепенно разрабатывая ее.

Примером данной формы является «Рондо-каприччио» (фортепиано) Бетховена.

В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

В «Евгении Онегине» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви».

В трагедии А. С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича.

Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

Вертикальная ось симметрии: А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.

Горизонтальная ось симметрии: В; Е; 3; К; С; Э; Ю.

И вертикальные и горизонтальные оси симметрии: Ж; Н; О; X.

Ни вертикальные, ни горизонтальные оси: Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я.

В русском языке есть «симметричные» слова - палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях:

шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. (Г. Р. Державин.)

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора «кружатся» в своем асимметричном «танце», создавая впечатление радости и праздника.

Асимметрия широко используется в некоторых восточных культурах, например в японской. Такая подчеркнуто асимметричная структура свойственна, в частности, канону дзенского сада камней. Аналогичный принцип относится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимать сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, символизирующем беспредельность мира.

В «Фаусте» Гете противопоставляет в образах Прекрасной Елены и одноглазой, однозубой старухи Форкиды красоту симметрии и уродство асимметрии. В «Сказке о царе Салтане» Пушкин рисует величавую Царевну-Лебедь со звездой во лбу (красота - симметрия) и окривевших злодеек - ткачиху с поварихой (уродство -асимметрия).

В «Войне и мире» Льва Толстого мы читаем: «Это был огромный, в два обхвата дуб, с обломанными, давно видно, суками и с обломанной корой, заросшей старыми болячками. С огромными своими неуклюже, несимметрично растопыренными корявыми руками и пальцами, он старым, сердитым и презрительным уродом стоял между улыбающимися березами».

Если симметрия порождает чувство покоя и скованности, то асимметрия вызывает ощущение движения, свободы. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим фарфоровую статуэтку работы художника С. С. Пименова «Водоноска». На сарафане девушки вышивка изогнулась, фигура потеряла симметрию, но приобрела движение.



Симметричные многочлены от двух переменных.

Симметрия в алгебре. Обозначим многочлен от переменных х и у через Р(х; у). Тогда Р(у; х) означает многочлен, получаемый за­меной Р(х; у) переменной x на у, а у на х. Например, если

Р(х; у) = 4 – Зх3у + 7ху3 + 8y4 то

Р(у; х) = 6у4 - Зу3х + 7ух3 + 8х4.

Если выполняется равенство Р(х; у) = Р(у; х), то многочлен Р(х; у) называют симметрическим. Например, симметрическими являются многочлены x + у и ху. В самом деле, при замене х на у и у на х из х + у получается равный ему многочлен у + х, а ху - рав­ный ему одночлен ух.

Введем обозначения u = x+y b и v = xy назовем u и v элементар­ными симметрическими многочленами от х и у. Симметрическими являются и многочлены Sn = х n+ у n - при замене х на у и у на х они переходят в равные им многочлены уn + х. n

Теорема. Для любого симметрического многочлена Р(х; у) от х и у существует такой многочлен f(u; v) от u и v, что

P(x;y) = f(x+y; xy).

Таким образом, любой симметрический многочлен от двух пе­ременных х и у можно выразить в виде многочлена от u = х + у (ß,)

и v = ху 2).

Пример. Р(х; у) = 4 - 3 х3у + 5х2у2 - Зху3 + 2x4 .

Сначала сгруппируем симметричные друг другу слагаемые и вынесем за скобки общие множители. Получим:

Р(х; у) = (2х4 + 2у4) – (3х3у + Зху3) + 5х2у2 = 2(х4 + у4) -3ху(х22) + 5х2у2.

Так как u = х+у и u= ху, получаем:

Р(х; у) = 2(х4 + у 4) - 3 v(х22) + 5v2.

Выразим х2 + у2 и х4+ y4 через элементарные симметрические многочлены u и v.

х2 + y2 = 2 + 2ху + у2 - 3ху) = (х+у)2-2ху = u2 - 2v.

44 = (х2)2 + 2)2 = (х2 + у2 )v - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u2 - 4u2v + 4v2 - 2v2 = u2 - 4u2v + 2v2.

Самостоятельно, разложить на множители:

l) x5+y5(u5-5uv + 5uv2);

2) х6 + х6 (u6 – 6u4v+ 9u2v2 - 2v3).

П. Симметрические многочлены от трех переменных.

Определим понятие симметрического многочлена от трех пе­ременных х; у; z. Три переменные можно переставлять друг с дру­гом шестью различными способами:

(x; y, z); (x; z, у); (у; х; z); (у; z; х); (z, х; у); (z; у; х).

Назовем Р(х; у; z) симметрическим, если он не меняется при всех перестановках переменных, т. е. если

Р(х; у; z) = Р(х; z; у) = Р(у; х; z) = Р(у; z; х) = P(z; х; у) = P(z; у; х).

Примерами таких многочленов могут служить:

&1 = х + у + z, &2 = ху + х2 + yz; &3 = xyz.

Симметрическими многочленами являются и суммы:

Snn+yn+zn

Теорема. Любой симметрический многочлен от переменных х; у; z может быть выражен в виде многочлена Q1 Q2, Q3.

Пример.

S2 =x 2+ y2 + z2 = (x + y + z)2-2(xy + xz + yz) = Q12-2Q2.

S3 = x3 + y3 + z3 = Q3 - 3Q,Q2 + 3Q3.
IV. Симметрические системы уравнений.

Система уравнений называется симметрической, если при замене х на у и

у на х система не изменяется. Например,



При решении симметрических систем уравнений используют прием, основанный на введении новых переменных u = х+ у и v = ху. Любой симметрический многочлен может быть записан в новых переменных u и v.

1) х3у + ху3 = ху(х22) = ху(х2 + 2xy + y2- 2ху) = ху[(х +y)2-2xy] = v (u2-2v).

2) х22 = u2- 2 v.

3) х3 + у3 = х3 + Зх2у + 3ху2 + у3- 3х2у - 3ху2 = (х + у)3 - 3ху(х + у) = u3 - 3vu.

4) x4+ y4 = x4 + 2у2 + y 4 – 2x2y2 = 22)2 - 2х2у2 =

= 2 + 2ху + у2 - 2ху)2 - 2х2у2 = [(х + у)2 - 2ху] 2 - 2(ху)2 = (u2 - 2v)2 - 2v2.

5) x5+y5 = (x2 + у2) (x3 + у3) - х2у2+ у) = u5-5u3v+ 5uv2.

Пример 1. Решите систему уравнений.



Решение.

Сделаем замену x + y =u и xy = v, тогда





Пример 2. Решите систему уравнений.



Решение.

Введем замену х + у = и, ху = v.

Систему уравнений перепишем в виде:



Решим первое уравнение системы:

(v + 7)2-v2 = 91,

v2+ 14v + 49-v2 = 91,

14v = 42,

v = 3.

Переменную u находим из уравнения:

u2 = 7 + 3v,

u2 = 7 + 9,

u2 =16,

|u| = 4.

u = ±4.

Итак, решением системы (*) будет пара чисел (4; 3) и (-4; 3).

Вернемся к исходным переменным. Получим совокупность двух систем:



Ответ: (3; 1), (1; 3); (-3;-1), (-1;-3).
1   2   3   4   5   6   7   8

Похожие:

Симметрия вокруг нас iconПрограмм а элективного курса по математике в 8 классе Золотая пропорция и симметрия вокруг нас Ермишко Ольги Константиновны
«Золотая пропорция и симметрия вокруг нас» направлен на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений...
Симметрия вокруг нас iconСимметрия вокруг нас (модульный элективный курс)
Плоскость симметрии (Р). Ось симметрии (L). Центр симметрии (С). Зеркальная симметрия. Объект и его зеркальный двойник. Энантиоморфы....
Симметрия вокруг нас icon«Симметрия вокруг нас»
...
Симметрия вокруг нас iconСимметрия вокруг нас ("Страна загадочных симметрий")
Симметрия есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство
Симметрия вокруг нас iconСимметрия вокруг нас Наше научное общество «Точка опоры»
Наше научное общество «Точка опоры» работало над темой «Симметрия вокруг нас». Слайд1
Симметрия вокруг нас iconМоу сош №1 с. Верхняя Балкария Черекского района кбр симметрия вокруг нас
Если бы можно было перегнуть его по центральной оси, то обе половинки дома совпали бы при наложении. Такая симметрия получила название...
Симметрия вокруг нас iconНаучно практическая конференция «Первый шаг в науку» Симметрия вокруг нас
Использование элементов симметрии в чувашских вышивках 8
Симметрия вокруг нас iconСимметрия вокруг нас
Учитель: Колбасова Алла Викторовна, учитель математики и информатики Рускеальской основной школы, г. Сортавала
Симметрия вокруг нас iconУрок (геометрии + биология) в 8 классе по теме «Симметрия вокруг нас»
Показать исключительную роль принципа симметрии в научном познании мира, в человеческом творчестве и научить различать многообразные...
Симметрия вокруг нас iconИспользование интеграции в реализации метода проектов (на примере проекта «Симметрия вокруг нас»)
Метод проектов в педагогике декларируется сейчас как одна из наиболее перспективных и эффективных инновационных технологий, позволяющих...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org