Согласно Нётер теореме, каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода — законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопической инвариантности — сохранение изотопического спина в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив суперпозиции принцип, из существования дискретных С. следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности, сохранение которой вытекает из С. относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть y1 — волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а y2 — волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически: y2 = Рy1, где Р — оператор пространств. инверсии). Тогда, если существует С. относительно пространственной инверсии, y2 является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции y1 и y2: симметричная комбинация ys = y1 + y2 и антисимметричная yа = y1 — y2. При преобразованиях инверсии состояние y2 не меняется (т. к. Pys = Py1 + Py2 = y2 + y1 = ys), а состояние ya меняет знак (Pya = Py1 — Py2 = y2 — y1 = — ya). В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна (+1), во втором — отрицательна (—1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены).
Аналогично, из С. относительно зарядового сопряжения и комбинированной инверсии следует существование зарядовой чётности (С-чётности) и комбинированной чётности (СР-чётности). Эти величины, однако, могут служить характеристикой только для абсолютно нейтральных (обладающих нулевыми значениями всех зарядов) частиц или систем. Действительно, система с отличным от нуля зарядом при зарядовом сопряжении переходит в систему с противоположным знаком заряда, и поэтому невозможно составить суперпозицию этих двух состояний, не нарушая закона сохранения заряда. Вместе с тем для характеристики системы сильно взаимодействующих частиц (адронов) с нулевыми барионным зарядом и странностью (или гиперзарядом), но отличным от нуля электрическим зарядом, можно ввести т. н. G-чётность. Эта характеристика возникает из изотопической инвариантности сильных взаимодействий (которую можно трактовать как С. относительно преобразования поворота в «изотопическом пространстве») и зарядового сопряжения. Примером такой системы может служить пи-мезон. См. также ст. Сохранения законы.
Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций.
График четной функции симметричен относительно оси у (рис. 1), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2). График периодической функции имеет переносную симметрию вдоль оси х (рис. 3).
Кроме того, все виды симметрии мы используем при построении графиков функций с помощью геометрических преобразований.
Остановимся более подробно.
Множество действительных чисел называется симметричным относительно точки x = 0 числовой оси, если вместе с любой точкой х ему принадлежит точка (-х).
Устные упражнения.
Будут ли симметричны относительно точки х = 0 следующие множества:
1)А1 = [-2;2]; 4)А4 = (-3;3);
2)А2 = (-1;1); 5) А5 = [-2; 1)и [1; 2);
3) А3 = (-2; 0); 6) А6 = (-2; -1) и (1; 3);
7) множество Qвсех рациональных чисел;
8) множество У всех иррациональных чисел.
Функция у =f(х) с симметричной относительно начала координат О (0; 0) областью определения D(f) называется:
- четной, если для любого хD(f) выполняется равенство f(-x) =f(x);
- нечетной, если для любого х D(f) выполняется равенство f(-x) = -f(x);
Пример. Покажите, что функция у = х2является четной, а у = x3 нечетной.
Решение.
у=х2;
D(y) = R(область определения симметрична относительно начала координат);
У (-x) = (-х)2= х2 = у(х) - функция является четной.
у=х3;
D(y) = R(область определения симметрична относительно начала координат);
у(-х) = (-х)3= -х3 = -у(х) - функция нечетная.
Самостоятельно определите, какие функции являются четными, какие нечетными:
y1= |х|; y2 = х; y3 =
Для того чтобы построить график четной функции, достаточно построить график при х0 и полученную часть графика отразить симметрично относительно оси ОУ.
Пример 1. Построить график функции у = х2+ 1.
Решение.
D(y)=R;
У(-х) = (-х)2+1=х2+1=у(х).
Функция y = х2+1 -четная.
1) Строим график функции y = х2+ 1 при х0.
2) Симметрично относительно оси ОУ отражаем часть графика при х 0.
0 и полученную часть графика отразить симметрично относительно оси ОУ.
