Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение



Скачать 31.79 Kb.
Дата20.12.2012
Размер31.79 Kb.
ТипДокументы
Комплексные числа
Обозначим через С множество пар упорядоченных действительных чисел: .

Определение. Упорядоченную пару действительных чисел называют комплексным числом.

Пусть , .

Операция сложения.

Определение. Сложением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число с координатами , где , , т.е. .

Свойства:

  • ;



  • ;

  • для , что .


Операция умножения.

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число с координатами , где , , т.е. .

Свойства:

  • ;



  • gif" name="object26" align=absmiddle width=70 height=20>, для , что ;

  • для , что .


Если комплексное число имеет вид , то данное число находится на числовой оси и можно записать просто в виде действительного числа , следовательно . Если обозначить , то получим, что Таким образом любое комплексное число можно записать в другом виде:

, здесь и – действительные числа, мнимое число.

Определение. Сопряженным комплексным числом, называют , .
Свойства сопряженного числа.

  • ;

  • ;

  • .


Тригонометрическая запись комплексного числа
Любая точка на плоскости однозначно определяется, если известно расстояние этой точки до начала координат и угол , образуемый положительным направлением оси и (см. рис.1). И так как , , то тригонометрическая запись комплексного числа выглядит следующим образом: . Тригонометрическая запись комплексного числа удобна при умножении, а именно: если и , то

В частности

(1)

называется такое комплексное число для которого

, т.е



,

Отсюда имеем, что

(2)

Здесь получаются отличные друг от друга значения при .

Формулы (1) и (2) называются формулами Муавра.


а



y

x
рис.1
Теорема Безу. Если имеем многочлен и число является его корнем, то .

Определение. Число является корнем многочлена кратности , если представляется в виде , где .
Например, .
Основная теорема алгебры. Любой многочлен порядка во множестве комплексных чисел имеет хотя бы один корень.

Используя теорему Безу, что любой многочлен без остатка делится на , если – корень многочлена , можно получить важное следствие из этой теоремы:

Следствие. Любой многочлен порядка во множестве комплексных чисел имеет ровно корней, считая их кратность.

Имеет место следующее разложение

.

Например, ,
Лемма. Если – многочлен с действительными коэффициентами , и комплексное число является решением этого многочлена, т.е. то сопряженное комплексное число тоже является решением .

Доказательство: , известно, что

. Покажем, что , причем . Известно, что сопряженная сумма равна сумме сопряженных: .

. Известно, что сопряженное произведение – это произведение сопряженных: . Ч.т.д.
Следствие: любой многочлен нечетного -ого порядка с действительным коэффициентом имеет хотя бы одно действительное решение.

Похожие:

Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconКомплексные числа Определение комплексного числа
Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью и обозначаются...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение icon1. Комплексные числа
Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconКомплексные числа
Когда расширили множество рациональных чисел до множества действительных (вещественных) чисел, то была решена и эта проблема. В общеобразовательных...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconУрок 1 Определение комплексных чисел и арифметические операции над ними
Поэтому возникла необходимость "пополнить" множество действительных чисел таким образом, чтобы, по крайней мере, любой квадратный...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconОтношения эквивалентности и комбинаторика
Определение. Пусть m – множество. Произвольное множество упорядоченных пар элементов из м называется отношением на M. Если, то пишут...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconУрок №4 Тема 1 введение в курс математики вопросы: Понятие комплексного числа (алгебраическая форма записи)
Множество действительных чисел позволяет полностью оценить количественные стороны явлений действительности. При помощи действительных...
Комплексные числа Обозначим через с множество пар упорядоченных действительных чисел: Определение iconЗадание к теме Основные содержательные линии школьного курса математики
Линия числа (приближенные вычисления, иррациональные числа, множество действительных чисел, стандартный вид числа)
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org