1. Комплексные числа



Скачать 25.85 Kb.
Дата20.12.2012
Размер25.85 Kb.
ТипДокументы
1.) Комплексные числа – упорядоченная пара (x; y) действительных чисел, если для множества этих чисел определяется равенство и операции сложения и умножения:

Комплексные числя обозначаются латинскими буквами, обычно z, w.

Рассмотрим к. ч. Вида (x;0)

к. ч. такого вида отождествляются с действительным числом x. Число же вида (0 ;y) являются числами, квадрат которых равен отрицательному числу: (0 ;y)*(0;y)=(-y2;0)=-y2 Они называются мнимыми в частности (0;1) – мнимая единица, обозначается i т. е. i2=-1; к. ч. Можно записать в виде

z =(x;y)=(x;0)+(0;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+iy;

x=x+iy – алгебраическая форма записи к. ч.

x=Rez=Re(x+iy); y=Imz=Im(x+iy);

при сложении комплексных чисел складываются отдельно действительные и мнимые части.

При умножении комплексных чисел они перемножаются как двухчленны, при этом учитывается, что i2=-1;

2.)операция комплексного сопряжения – операция, при которой изменяется знак перед мнимой частью, например сопряженное для числа x+iy является к. ч. x-iy;

деление комплексных чисел определяется как действие обратное умножению, чтобы убрать из знаменателя дробную часть, надо домножить числитель и знаменатель на число, сопряженное делителю:

3.)комплексные числа на комплексной плоскости, аргумент, модуль и тригонометрический вид комплексных чисел: из того что комплексное число обозначается как упорядоченная пара (x;y) позволяет установить однозначное соответствие между комплексным числом z=x+iy и точкой M(x;y)в декартовой системе координат в декартовой системе координат OXY числовую плоскость при этом обозначают комплексной плоскостью.

Ось абсцисс – действительная ось, ось ординат – мнимая. Так же к. ч. z=x+iy можно представить как вектор с координатами x и y и началом координат в точке О (радиус-вектор) поэтому когда речь идет о к. ч. вектор z и точка z употребляются как синонимы.

модуль к. ч. – длинна вектора, изображающего это число, и обозначающегося |z| модуль числа z=x+iy определяется однозначно и равен |z|=аргумент комплексного числа – при zgif" name="object8" align=absmiddle width=17 height=18>0 называется любой угол, отсчитываемый от положительного луча оси OX до радиус-вектора z этот угол положителен, если отсчитывается против часовой стрелки и отрицателен, если по часовой стрелке. Если z=0 то аргумент не определен. В отличии от модуля, аргумент определяется не однозначно. Такое значение аргумента при котором или и называется главным аргументом. Главный аргумент пишется arg z, а все остальные – Arg z. Если r=|z|, то т. о. z=x+iy=rcosφ+irsinφ= =r(cosφ+isinφ) запись z=r(cosφ+isinφ) аргумент к. ч.:

умножение комплексных чисел в тригонометрической форме делается так: модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Формула Мавра для возведения в степень к. ч. – аргумент умножается на степень, а модуль возводится в степень:




4.) формулой Эйлера, возведение комплексного числа в степень извлечение корня, произведение и отношение комплексных чисел называется соотношение и функция обладает обычными свойствами показательной функции:

;;; из формулы Эйлера выходит, что

извлечение корня из к. ч.: корень из к. ч. z называется к. ч. w , такое, что ;

пусть , а тогда откуда ; ; ; т. о. причем k изменяется от 0 до n-1. на комплексной плоскости эти точки обозначаются как вершины правильного n-угольника вписанного в окружность радиуса с центром в т. О(0;0).

Для показательного вида корень из числя z будет выглядеть следующим образом:


Похожие:

1. Комплексные числа iconУрок алгебры в 11 классе по теме «Комплексные числа»
Какие комплексные числа называются сопряженными? При выполнении какого действия чаще всего используют сопряженные числа?
1. Комплексные числа iconКомплексные числа, арифметика комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
1. Комплексные числа iconКомплексные числа, геометрия комплексных чисел Комплексные числа получаются из действительных чисел
Комплексные числа получаются из действительных чисел добавлением нового числа, обладающего свойством
1. Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010100 Математика Квалификация Математик
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
1. Комплексные числа iconКомплексные числа. Комплексные числа и арифметические операции над ними
Арифметические операции над действительными числами ( сложении е, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) снова...
1. Комплексные числа iconГосударственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальность 010500 Механика Квалификация Механик Москва 2000
Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности...
1. Комплексные числа iconКомплексные числа
Комплексные числа представляют собой расширение множества действительных чисел. Впервые с необходимостью их введения математики столкнулись...
1. Комплексные числа icon«комплексные числа»
Поэтому в школьном курсе математики при решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля, отмечалось, что такие уравнения...
1. Комплексные числа iconРешение задач с параметром на множестве комплексных чисел
Выбор темы: Комплексные числа математическая модель для описания и изображения материальных точек в решении прикладных задач по физике....
1. Комплексные числа icon«Комплексные числа в алгебраической форме, действия с ними. Сопряженные комплексные числа.»
Проверка домашнего задания : 4 учащихся выполняют одновременно заранее выписанные на доске 4 задания, предлагавшиеся на дом. В это...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org